【正文】 22222221)(,21)( ??????yYxX eyfexf????由于 X與 Y相互獨立，于是 (X,Y)的概率密度為 2222221)()(),( ???yxYX eyfxfyxf????先求 Z 的分布函數(shù) FZ ( z ) 解 ： X 和 Y 的概率密度分別為 }{}{)( 22222 zYXPzYXPzF Z ?????????????2222222221zyxyxdxdye ???drred zr?? ?? 0 2202 2221 ?? ???2221 ?ze ???當(dāng) z0時 FZ(z)=0 當(dāng) z ≥ 0 時 }{}{)( 22 zYXPzZPzF Z ?????所以 0010)( {222?????zzezFzZ?于是可得 的概率密度 22 YXZ ?? )(zfZ?????????000)(2222zzezzfzZ??如果一隨機(jī)變量的概率密度為上式，稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為 ?的瑞利分布。 是否獨立？與問：其他的聯(lián)合密度：設(shè)兩維隨機(jī)變量例YXyxyxeyxfYX 0 ,0 )( 0),( ),(2??? ?????解 :求得 X和 Y的概率密度 f X (x), f Y ( y)分別為： ?????? ?000)(xxexf xX?????? ?000)(yyeyf yY 容易驗證對一切 x, y 有 f (x,y)=f x ( x ) f y (y) 故 X與 Y相互獨立． 例 3: 設(shè) X 和 Y 都服從參數(shù)為 1的指數(shù)分布，且相互獨立，試求 P{X+Y1}。 RyxyFxFyxF YX ??? ,),()(),(結(jié)論推廣：“若 X 與 Y 獨立，則對于任意一維區(qū)間 I1和 I2，事件 {X∈ I1}與 {Y∈ I2}相互獨立”。 2 n 2{ , } q ( q 1 p ) 1 , 2 ... 1 n 2 , 3 . . . P X m Y n Pmn? ? ? ?? ? ?...2,1 },{}{ 11221???????????????mpqqpnYmXPmXPmmnnmn＝＝又...3,2 )1( },{}{ 22112211??????????????nqpnqpnymXPnYPnnmnnm＝＝2 n 2{ , } q ( q 1 p ) 1 , 2 ... 1 n 2 , 3 . . . P X m Y n Pmn? ? ? ?? ? ?0},{,1,0,1,0:2121 ????? kYkXPnkknYnX時當(dāng)?shù)乃锌赡苤禐榈乃锌赡苤禐榻??1 2 3 1 2 3i j 1 2 3 i ii 1 2 3124 : A , A , A A , A , AAA Φ ( i j) , A A A Ω , P ( A ) p ,0 p 1( i 1, 2, 3) , p p p 1., , A , A, ( , ).EEn X Y nX Y X Y? ? ? ?? ? ? ? ? ?例 試 驗 有 三 個 結(jié) 果 。 簡記為 )(,),(),( 21 eXeXeX n?))(,),(),(( 21 eXeXeX n?),( 21 nXXX ?設(shè) 是 n維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù) ,稱 n元函數(shù) 為 n維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)。 ? ????? ???? ? 1),()2( d x d yyxf。簡記為 ( X, Y ). 定義 2：設(shè) (X,Y)是二維隨機(jī)向量 ,對于任意實數(shù) x, y稱二元函數(shù) F ( x , y)= P{ X ? x ， Y ? y } 為二維隨機(jī)向量 ( X, Y )的 分布函數(shù) 或 聯(lián)合分布函數(shù) 。)1( 00,10),( ),(:2????????????YXPYPXPAxyxAxyxfYX｝；｛系數(shù)求其它的概率密度為設(shè)隨機(jī)向量例.)(,}),{(,)4(,1,)2(.),(為頂?shù)那斨w的體積以曲面為底的值等于以知由性質(zhì)間區(qū)域的體積為平面之間空介于該曲面和知由性質(zhì)表示空間的一張曲面在幾何上xfzGGYXPx O yyxfz???1x3043( 2) {( , ) | 1 , 0 },43 { } {( , ) }4 ( , )37 = ( 3x )64DD x y x y xP X P x y Df x y dx dydy dx? ? ? ? ?? ? ???????設(shè)于 是 3 3)( ),(1 )1( 10 0????? ?? ?????????AAdxA x d yd x d yyxfx得由概率密度的性質(zhì)知解：1 1 y=x o x y 1 O y x D 1412140011( 4 ) { , } ( , )42 ( 3x )1 64xyxP X Y f x y d x d yd y d x??? ? ???????121120y1(3 ) { } ( , )211 = ( 3xd x) dy16yP Y f x y d x d y????????類 似 地 可 計 算1 O y x 1 O y x 41()3 : ( , )c 0 , 0 ( , ) {0 ( 1 ) c 。)2(。 例 5：設(shè) (X,Y)在圓域 x2+y2=1上服從均勻分布，求其邊緣密度。 當(dāng)（ X,Y）為離散型或連續(xù)型隨機(jī)向量時，可用它的分布律或概率密度來判別 X與 Y的獨立性。 }),({}{)( zYXgPzZPzF Z ????d x d yyxfzyxg),(),(????求 Z的概率密度，方法：先求出 Z 的分布函數(shù) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布 再通過 求出 Z的概率密度 。令 ，則 Z的分布函數(shù)為 }),{( zyxyxD z ???}{}{)( zYXPzZPzF Z ????? ???zDdxdyyxf ),(? ????? ???? yz dydxyxf )),(((1)和的分布 固定 z和 y對積分 作換元法 ,令 x + y=u 得 ? ???yz dxyxf ),(?? ????? ?? zyz duyyufdxyxf ),(),(于是： ? ?? ??????????? ??????zzZdudyyyufd u d yyyufzF)),((),()(yxOzyx ??z由概率密度定義，即得 Z 的概率密度為 ? ???? ?? dyyyzfzf Z ),()(由 X與 Y的對稱性，又可得 ? ???? ?? dxxzxfzf Z ),()(當(dāng) X與 Y相互獨立時，有 ? ????? ???? ???? dxxzfxfdyyfyzfzf YXYXZ )()()()()(其中 分別是 X 和 Y 的密度函數(shù)。 zD?}),(),{( zyxgyxD z ??4 : ( X , Y ) ( x 2 y ) 2 e 0 , 0f ( x , y )02xyZ X Y?????? ?????例 設(shè) 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 密 度 函 數(shù) 為　 　 　 　 　 　 其 他求 隨 機(jī) 變 量 的 密 度 函 數(shù)2( ) ,( ) { } { 2 }( , )ZZx y zZ F zF z P Z z P X Y zf x y d x d y??? ? ? ? ?? ??解 ： 設(shè) 的 分 布 函 數(shù) 為 則y z 0 x y=(zx)/2 0)(0 ?? zFz Z時，當(dāng)0)(0 ?? zFz Z時，當(dāng)???????? ??0100)(zzeezzF zzz????? ????0)(　ｚ００　?。拿芏群瘮?shù)為故zzezfZ Z　　　　　　　　　　　時，當(dāng)zzezezxzdyyxedxzFzZ?????? ??????1020)2(2)(0例 6：設(shè) 且 X與 Y相互 獨立，求 的概率密度。 從而 X與 Y相互獨立。 )( yxf YX特別 y=0和 y= 時條件概率密度分別為 21?????????其它＝01121)0(xyxf YX?????????其它＝0232331)21(xyxf YX類似于條件概率的乘法公式，也有 )()()()(),( yfyxfxfxyfyxf YYXXXY ??求 P{X1|Y=y} 例 3 設(shè) (X,Y)的概率密度是 ????????????????其它,00,0,),(yxyeeyxfyyx解 : ? ??? 1 | )|( dxyxf YXP{X1|Y=y} 為此 , 需求出 由于 于是對 y 0, )(),()|(| yfyxfyxfYYX ???? ???0)( dxyeeyf yyxY??????0][ yxyyeye,ye ?? ???? y0,ye yx?? 0?x故對 y0, P{X1|Y=y} ??? ??1dxye yx ?????1yxe ye 1??????????????????其它,00,0,),(yxyeeyxfyyx例 4 設(shè)數(shù) X 在區(qū)間 (0,1)均勻分布 ， 當(dāng)觀察到 X=x(0x1)時 ， 數(shù) Y在區(qū)間 (x,1)上隨機(jī)地取值 .求 Y 的概率密度 .