【正文】 即首先找出上式右端的積分區(qū)域 Dz。 )(),( yfxfYX 這兩個公式稱為連續(xù)型隨機變量分布的卷積公式，簡稱為連續(xù)型的卷積公式。 dzzdFzf ZZ)()( ?)(zfZ求解過程中，關鍵在于將事件 {Z≤z}等價地轉化為用(X,Y)表示的事件 {g(X,Y) ≤z}={(X,Y) }, 其中 。（ i=1,2,3, j=1,2,3）。若在點(x,y)處 f(x,y)連續(xù)，邊緣概率密度 fY(y)連續(xù)，且 fY(y)0，則有： )(),(2/)]()([2/)],(),([lim)()(),(),(lim}{},{lim)(000yFdydyyxFyFyFyxFyxFyFyFyxFyxFyYyPyYyxXPyxFYYYYYYX??????????????????????????????????????????????????亦即 ?????? ?? xYYxYX duyfyufyfduyufyxF )( ),()(),()( 類似地在相應條件下可得在 X=x 條件下 Y 的條件概率密度為 )(),()(xfyxfxyfXXY ?若記 為條件 Y=y下 X的條件概率函數(shù)，則由上式知： )(),()(yfyxfyxfYYX ?)( yxf YX????????其它011),(22 yxyxf ?且有邊緣概率密度 ??????????? ????其它011121 21122yydxyy ??當－ 1y1時有： ????????????????其它＝01112112/1)(),()(2222yxyyyyfyxfyxfYYX ??解： (X,Y)的概率密度為 ? ????? dxyxfyf Y ),()(例 2： 設隨機變量 (X,Y)在區(qū)域 D={(x,y)∣ x2+y2≤1}上服從均勻分布，求條件概率密度 。 解： ｛ X=i,Y=j｝的可能取值情況是： i=1, 2, 3, 4, j=1, … , i P{X=i,Y=j}=P{Y=j |X=i} P{ X=i } iji ,...1 4,3,2,1i 411 ????所以（ X,Y）的聯(lián)合分布律為 1/16 0 0 0 4 1/16 1/12 0 0 3 1/16 1/12 1/8 0 2 1/16 1/12 1/8 1/4 1 4 3 2 1 X Y 關于 X 的邊緣分布 4,3,2,1 4141}{11????? ????iiPiXPijijij關于 X 的邊緣分布 4,3,2,1 4141}{11????? ????iiPiXPijijij4,3,2,1 41}{4ji4ji???? ????jiPjYP ij關于 Y的邊緣分布 例 3：某人進行射擊，擊中目標的概率為 p（ 0 p1） , 射擊進行到擊中兩次目標為止，設 X 表示第一次擊中目標時的射擊次數(shù)， Y 表示共進行射擊的次數(shù)，試求X和 Y 的聯(lián)合分布和邊緣分布。這里“隨機投擲一點”的含義是指該點落入 S 內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關 . }.10,10{2,14,22??????YXPYXyxYX）（）的概率密度；）（求（上服從均勻分布，）在圓域例：設（? ??????????????1010.4141),(}10,10{10,102??dydxd x d yyxfYXPyxGG所以所確定的區(qū)域，為不等式）（???????????其他。和或分布律，或隨機變量的概率分布量）為二維離散型隨機變則稱（YXYX ),(* (X,Y)的分布律也可用表格形式表示 Y X y1 y2 … y j … x 1 x2 . . xi p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . pi1 pi2 pij… 例 1:從一個裝有 2個紅球 ,3個白球和 4個黑球的袋中隨機地取 3個球 ,設 X和 Y分別表示取出的紅球數(shù)和白球數(shù) ,求(X,Y)的分布律 ,并求 P{X≤1,Y2},P{X+Y=2},及 P{X=1}. 843391322 /}1,2{ ???? CCCYXP解 :X的可能值為 0,1,2,Y的可能為 0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值為 (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1). 由古典概率計算可得 8443934 /}0,0{ ???? CCYXP8418392413 /}1,0{ ???? CCCYXP 8412391423 /}2,0{ ???? CCCYXP8413933 /}3,0{ ???? CCYXP 8412392412 /}0,1{ ???? CCCYXP842439141312 /}1,1{ ???? CCCCYXP 846392312 /}2,1{ ???? CCCYXP844391422 /}0,2{ ???? CCCYXP于是 (X,Y)的分布可用表示 Y X 0 1 2 3 0 1 2 4/84 18/84 12/84 1/84 12/84 24/84 6/84 0 4/84 3/84 0 0 由 (X,Y)的分布律 ,所求概率為 6 9 0 8458842484128418844}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}2,1{????????????????????YXPYXPYXPYXPYXP???????????yyxxijijjijiPyYxXPyxFYXjipyYxXPYX},{),(),(3,2,1,},{),(的分布函數(shù)為則的分布律為設離散型隨機變量?844084484248412}0,2{}1,1{}2,0{}2{????????????????YXPYXPYXPYXP844284684248412}2,1{}1,1{}0,1{}1{???????????????YXPYXPYXPXP例：設隨機變量 X 在 1,2,3,4四個整數(shù)中等可能的取值， 另一個隨機變量 Y 在 1~X中等可能的取一整數(shù)值，試 求 （ X,Y） 的分布律。 設 (X,Y)的一切可能值為 ( xi, yj )， i,j=1,2,… ，且 ( X,Y )取各對可能值的概率為 P{X=xi， Y=yj}= pij， i,j=1,2,… （ *） (1) 非負性 : pij≥0， i， j=1， 2… ； 1)2(,??jiijp規(guī)范性：的聯(lián)合分布律。 （ 如 圖 ）1 O y x y=22x G ()0020 ( 1 ) 1 ( , ) c e =c ( e ) 3xyyf x y d x d yd y d xdyc? ? ? ?? ? ? ???????????????＋ ＋＋解 ： 由 概 率 密 度 的 性 質 知得1?c????? ????? ?? ????? ??其他） 00,0 xe ),()yx,( 20 0)(x yx yyxyd yd xd xd yyxfF??? ???????其他 00,0 )1)(1( yxee yxdx dyyxGYXPG???? ),(f}),{( 3 ））后（先 xy 220 )(10 ?? ? ??? x yx dyedx?}.{3,21.,0,0,0,),(,)32(YXPYXkyxkeyxfYXyx???? ?????）求（）的分布函數(shù)；）求（；（）確定常數(shù)（其他）的概率密度為例：設二維隨機變量（.6161),(10 0320 0)32(??????? ?? ? ? ??? ?????????????? ????kkdyedxekdxdykedxdyyxfyxyx于是，）由性質有解：（????????????? ?? ??????? ??.,0,0,0),1)(1(6),(),()2(0 032)32(其他由定義有y xyxvuy xxyeed u d ved u d vvufyxF5/2)1(36),(),(}{)3(0230 0)32(??????????????? ??? ???????????dyeedydxed x d yyxfd x d yyxfYXPyyyyxD yx 設 G是平面上的有界區(qū)域 , 其面積為 S, 若二維隨機變量 ( X ,Y ) 的概率密度為 ????? ??其它0),(1),( GyxSyxf設 ( X ,Y ) 在區(qū)域 G上服從均勻分布 , D為 G 內(nèi)的一區(qū)域 ,即 D?G,且 D的面積為 S(D),那么 SDSd x d ySd x d yyxfDYXP DD)(1),(}),{( ???? ????二維均勻分布 則稱 ( X,Y ) 在區(qū)域 G 上服從均勻分布 . 若說向區(qū)域 S上隨機投擲一點，將其質點的坐標用（ X,Y）來表示，則（ X,Y）服從該區(qū)域的均勻分布。 例 2 設隨機變量 X 在 1， 2， 3， 4四個整數(shù)中等可能的取值，另一隨機變量 Y 在 1～ X 中可能的取一整數(shù)值，試求（ X,Y）的聯(lián)合分布律和其邊緣分布律。 X Y 1 2 3 4 P{Y=yi} 1 2 3 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 2/16 25/48 13/48 10/48 P{X=xi} 1/4 1/4 1/4 1/4 解 ：（ 1）由聯(lián)合分布律表可知邊緣分布律 .于是 的條件分布律為的條件下即，在 XYYXPYXPYXPYXP12534825/161}1|4{2544825/121}1|3{2564825/81}1|2{25124825/41}1|1{