【正文】 形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E為AB中點,求證:四邊形BCDE是菱形.37. (20011江蘇鎮(zhèn)江,25,6分)已知:如圖1,圖形①滿足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72176。, ∠Q=144176。將Rt△ABC在直線上左右平移，如圖⑵所示.⑴ 求證：四邊形ACFD是平行四邊形。＋a．在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180176。－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360176。－a）＝90176?！唷螮HG=∠AHG＋∠AHE＝90176。, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；（2）∵∠FAD+∠3=90176。同理點在上時,點在或上,、點在上時,才能構(gòu)成平行四邊形∴以、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,∵點的速度為每秒5,點的速度為每秒4,運動時間為秒∴,∴,解得∴以、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,秒.②由題意得,以、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,點、在互相平行的對應(yīng)邊上.分三種情況:i)如圖1,當(dāng)點在上、點在上時,即,得ii)如圖2,當(dāng)點在上、點在上時, 即,得iii)如圖3,當(dāng)點在上、點在上時,即,得綜上所述,與滿足的數(shù)量關(guān)系式是 圖1圖2圖34. 【答案】∵四邊形ABCD為菱形∴∠BAC=∠DAC又∵AE=AF，AC=AC∴△ACE≌△ACF（SAS）5. 【答案】當(dāng)點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形證明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，又∵M(jìn)N∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.同理，F(xiàn)O=CO6分∴EO=FO又OA=OC, ∴四邊形AECF是平行四邊形又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠∵∠1+∠5+∠2+∠4=180176。．∴∠MNK=40176?！唷螧AE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.∴AE＝BF.∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.9.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四邊形AECF是平行四邊形.（2）∵四邊形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90176?！郉BC 為直角三角形又∵F為邊CD的中點．∴BF＝DC＝DF又∵四邊形DEBF為平行四邊形∴四邊形DEBF是菱形：（1）解法1∵DE∥AB，AE∥BC， ∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BD，且AE=BD 又∵AD是BC邊上的中線， ∴BD=CD ∴AE∥CD，且AE=CD∴四邊形ADCE是平行四邊形 ∴AD=CE解法2 證明：∵DE∥AB，AE∥BC ∴四邊形ABDE是平行四邊形，∠B=∠EDC ∴AB=DE 又∵AD是BC邊上的中線∴BD=CD∴△ABD≌△EDC(SAS) ∴AD=EC (2)解法1∵∠BAC=Rt∠，AD上斜邊BC上的中線，∴AD=BD=CD又∵四邊形ADCE是平行四邊形∴四邊形ADCE是菱形解法2∵DE∥AB，∠BAC=Rt∠，∴DE⊥AC又∵四邊形ADCE是平行四邊形∴四邊形ADCE是菱形解法3∵∠BAC=Rt∠，AD是斜邊BC上的中線，∴AD=BD=CD又∵AD=EC ∴AD=CD=CE=AE ∴四邊形ADCE是菱形 (3)解法1∵四邊形ADCE是菱形∴AO=CO，∠ADO=90176。當(dāng)C1在AC中點時四邊形ABC1D1是菱形， 第9題圖 第13題圖 第14題圖14. 【答案】（1）由折疊可知EF⊥AC，AO=CO∵AD∥BC∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO∴△AOE≌△COF∴EO=FO∴四邊形AFCE是菱形。AP即2AE2=2AO∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm. 當(dāng)四邊形PBQD是菱形時， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，∴△ODP∽△ADB，∴，即，解得,即運動時間為秒時，四邊形PBQD是菱形. 解法二：PD=8t 當(dāng)四邊形PBQD是菱形時，PB=PD=(8t)cm， ∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90176。時，∠PAO=90176。當(dāng)點B與點O重合時，點P到AB的距離為，然后頂點A在x軸正半軸上向左運動，頂點B在y軸正半軸上向上運動時，點P到AB的距離逐漸增大，當(dāng)∠BAO=45176?！郟F=BF.∴PE－PF=OF－BF= OB=.：∵ABCD是菱形，∠ABC= 60176。 ∴∠AOM＝60176。＋60176。∠FAC＝∠ACE＝120176?！唷螪EF＝GEB，又∵ED＝BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB， ∴EF＝EG． (2)成立． 證明：如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，則EH＝EI，∠HEI＝90176。EM∥AB，EN∥AD, ∴＝＝， ∴＝＝, ∵∠GEM＋∠MEF＝90176。CE．∴．又∵DE⊥BC，∴∠CEF=∠FEB=90176。．由（1）知四邊形ABFC是平行四邊形，∴證四邊形ABFC是矩形．28. 【答案】證明：∵四邊形ABCD為矩形 ∴OA=OB=OC=OD AB=CD ∵AE=DF∴OE=OF 在ΔBOE與ΔCOF中， ∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS) ∴BE=CF29. 【解】(1) 假設(shè)當(dāng)m=10時，存在點P使得點Q與點C重合（如下圖），∵PQ⊥PD∴∠DPC=90176?！唷鱌BC∽△DAP，∴，∴，∴或8，∴存在點P使得點Q與點C重合，出此時AP的長2 或8．(2) 如下圖，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90176。DE=CE． ∵∠ADC=∠BCD=90176?！螦BE+∠AFB=90176。．31. 【答案】解：（1）證明：∵四邊形ABCD 是正方形 ∴CD＝CB， ∵AC是正方形的對角線 ∴∠DCA＝∠BCA 又 CE ＝ CE ∴△BEC≌△DEC (2）∵∠DEB ＝ 140176。 ∴∠AEF ＝∠BEC＝70176。2＝45176。＝65176。＝ 60176。2＝8 33. 【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠A＝∠PBC＝90176?！唷螦DP＝∠EPB.（2）過點E作EG⊥AB交AB的延長線于點G，則∠EGP＝∠A＝90176?！唷鰽DP∽△BFP方法二：假設(shè)△ADP∽△BFP，則.∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF∴，∴∴PB＝AP， ∴當(dāng)時，△PFE∽△BFP. 10分34.【答案】⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF，理由如下：假設(shè)∠BAD的度數(shù)為，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90176。因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD∠EAF=∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=．即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． ⑶當(dāng)∠B與∠D互補(bǔ)時，可使得DE+BF=EF．（或A′D），90 問題探究結(jié)論：EP=FQ. 證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90176。∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.同理AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸結(jié)論： HE=HF. 理由：過點E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90176。∴△ABG∽△EAP，∴ = . 同理△ACG∽△FAQ，∴ = . ∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴EP=FQ. ∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90176。（2）5個；（3）圖略38. 【答案】（1）證明：由題意知∠FDC =∠DCA = 90176。∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴ BE=CE又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四邊形ACEF是菱形．39. 【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90176。證明：設(shè)CK,DE相交于M點，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG。,∴CK∥EF,∴四邊形CKEF為平行四邊形。所以△ABE是等邊三角形.22