數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用論-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 歸納猜想法 在數(shù)列的有關(guān)題型中，有些明確給出了一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，如 1，8,27,64,125，? 要求求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)。 通項(xiàng) na 可以看作是項(xiàng)數(shù) n的函數(shù) )(nfan ? .當(dāng)然，不是所有的數(shù)列都能寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式，如 ： 一個(gè)學(xué)校的學(xué)生的考試成績(jī)由高到矮組成的數(shù)列，就 很難寫(xiě)出其通項(xiàng)公式 . 基本數(shù)列的通項(xiàng)公式 高中學(xué)習(xí)的數(shù)列有兩種最基本的數(shù)列：等差數(shù)列與等比數(shù)列 等差數(shù)列：一 般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng) 的差等于同一個(gè) 常數(shù) ，這個(gè)數(shù)列就叫做 等差數(shù)列 .這個(gè)常數(shù) 叫做等差數(shù)列的 公差 ，公差通常用字母 d表示 . 如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為 1a ，公差為 d ，那么這個(gè)數(shù)列可以寫(xiě)成 ?? ,)1(,2, 1111 dnadadaa ???? 的形式，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 dnaan )1(1 ??? 等比數(shù)列： 如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。怎樣找準(zhǔn)方法快速有效地推導(dǎo)呢？這就是本文所討論的問(wèn)題。數(shù) 列可以看作是特殊的函數(shù)，特殊在可以看作定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)當(dāng)自變量依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列的函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式即這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式。 一扇門(mén)，打開(kāi)它的關(guān)鍵就是門(mén)上的鎖和鑰匙，而數(shù)列問(wèn)題就像緊閉的門(mén)，數(shù)列的通項(xiàng)公式與它的推導(dǎo)思路就是開(kāi)門(mén)的關(guān)鍵。 在應(yīng)用舉例中，有些一種類(lèi)型的題可以用不同的方法解決，這種形式有利于開(kāi)發(fā)中學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓學(xué)生在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)從多方面綜合考慮，以找出最簡(jiǎn)便的解法。排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第 1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)），排在第 n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第 n項(xiàng) ，也叫數(shù)列的通 項(xiàng) na . 數(shù) 列的通項(xiàng)公式： 將數(shù)列 { na }的第 n 項(xiàng)用一個(gè)具體式子（含有 參數(shù) n）表示出來(lái)，稱作該數(shù)列 的通項(xiàng)公式 。 2 數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種推導(dǎo)方法 公式法 類(lèi) 型一 若題型中已知數(shù)列 { na }為等差或等比數(shù)列，則可直接利用公式求na . 類(lèi)型二 若已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 ns 與 n 的關(guān)系式 )(nfsn ? ,則利用公式 ??? ?? ??? 211 nSSnSannnn ? ???? 求出數(shù)列的通項(xiàng) . 這兩類(lèi)型是數(shù)列問(wèn)題中最直接，最簡(jiǎn)單的解法。 首先， 運(yùn)用觀察法，從 數(shù)列的前幾項(xiàng) 中找出規(guī)律性的結(jié)論，歸納猜想得出 na或其相關(guān)項(xiàng)，然后 把前幾項(xiàng)代入 結(jié)論 中檢驗(yàn)其是否正確 。 在數(shù)列求通項(xiàng)的有關(guān)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到即非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的求通項(xiàng)問(wèn)題，特別是給出的數(shù)列相鄰兩項(xiàng)是線性關(guān)系， 數(shù)列遞推式較復(fù)雜 的題型 。 待定系數(shù)法 待定系數(shù)法主要適用于 一階遞推式 qpaa nn ???1 ； （其中 p， q 均為常數(shù)，0,1p ?? pq ） 、 cqnpaa nn ????1 （ p,q,c為常數(shù)， 1?p , 0?pq ）等 . 類(lèi)型一： qpaa nn ???1 （其中 p， q均為常數(shù)， 0,1p ?? pq ） 假設(shè) 原遞推公式為 )(1 tapta nn ???? ， 其中pqt ??1， 計(jì)算出 t后，就構(gòu)造成了一個(gè)以 t?1a 為首項(xiàng)，以 p為公比的等比數(shù)列 { tan? }，從而推導(dǎo)出 tan? 的通項(xiàng)公式。分式遞推式 ：hra qpaa nnn ????1（ 其中 p、 q、 r、h均為常數(shù)，且 rharqrph ????1,0,）， 都可建立不動(dòng)點(diǎn)方程 . 類(lèi)型一： 一階線性遞推式 qpaa nn ???1 ( 0,1p ?? pq )（ 對(duì)問(wèn)題中的遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程 qxx ??p ，解出方程的解pqx ??1,在原遞推式兩邊同時(shí)減去pqx ??1，得到 )1(11 pqappqa nn ??????，構(gòu)造出一個(gè)公比為 p的等比數(shù)列，由此推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式 . 類(lèi)型二： 分式遞推式da qpaa nnn ???? c1， 數(shù)列 ??na 的特征方程為 ? ? dcx qpxxf ??? ，由 x???dcx qpx ，解出不動(dòng)點(diǎn)設(shè)為 m , n 1. 若 不 動(dòng) 點(diǎn) m = n ， 原 遞 推 式 兩 邊 同 時(shí) 減 去 m ，化解后得dp cmama nn ?????? 2111,推出一個(gè)新等差數(shù)列 {man?1}，公差為dpc?2.由此推導(dǎo)出 na . n?m ,遞推式兩邊分別同時(shí)減去 m,n,再用兩式相除得：na makna ma nnnn ???????11，其中ncp mcp ???k，推出一個(gè)新等比數(shù)列 {na mann??}，公比為ncp mcp ???k. 其他構(gòu)造方法 一種類(lèi)型的題可以有不同的解法，在構(gòu)造新數(shù)列的過(guò)程中，最重要的是轉(zhuǎn)化思想，上述的針對(duì)遞推式的待定系數(shù)法，不動(dòng)點(diǎn)法在高中數(shù)學(xué)中相對(duì)比較容易理解，下面介紹幾種不常用的構(gòu)造新數(shù)列的方法 . 特征根法 類(lèi)型一 ：一階遞推式 qpaa nn ???1 ， 針對(duì)問(wèn)遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程,qpxx ?? 稱之為特征方程 ，特征根為 1x . 若 ,11 xa? 則 。 例 4： 已知數(shù)列 ??na 滿足 22?a ， nnaann ??? ? 21 1（ 2?n ）， 求 na 。而稍加復(fù)雜，具有一定技巧性的為歸納猜想法，累加法，累乘法的應(yīng)用，如例 3 例 4 例 5，但只要清楚題型是屬于哪種類(lèi)型的，尋找相應(yīng)的方法問(wèn)題就迎刃而解 .在本文中 最復(fù)雜，最多變，技巧性較高的類(lèi)型應(yīng)該是構(gòu)造新數(shù)列法。 數(shù)學(xué)（理科版） [M].北京：中國(guó)社會(huì)出版社， 2022,13. [10] 余元希 .初等代數(shù)研究（下冊(cè)） [M].北京：高等教育出版社， 1988（ 2022重印） ,344345
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