高二數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布列-全文預(yù)覽
【正文】 ，試列舉 A 包含的基本事件； ( 2 ) 設(shè) ξ ＝ m2，求 ξ 的分布列及其數(shù)學(xué)期望 Eξ . 解 ( 1 ) 由 x2－ x － 6 ≤ 0 ，得－ 2 ≤ x ≤ 3 ， 即 S ＝ { x |－ 2 ≤ x ≤ 3} ． 由于 m ， n ∈ Z ， m ， n ∈ S 且 m ＋ n ＝ 0 ，所以 A 包含的基本事件為 ( － 2 , 2 ) ， (2 ，－ 2) ， ( － 1 , 1 ) ， (1 ，－ 1) ， ( 0 , 0 ) ． ( 2 ) 由于 m 的所有不同取值為－ 2 ，－ 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ， 所以 ξ ＝ m2的所有不同取值為 0 , 1 , 4 , 9 ， 且有 P ( ξ ＝ 0) ＝16， P ( ξ ＝ 1) ＝26＝13， P ( ξ ＝ 4) ＝26＝13， P ( ξ ＝ 9) ＝16. 故 ξ 的分布列為 ξ 0 1 4 9 P 16 13 13 16 所以 Eξ ＝ 0 16＋ 1 13＋ 4 13＋ 9 16＝196. 考題分析 本題考查了基本事件的概念，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的計算．考查考生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力． 易錯提醒 ( 1 ) 易忽略特例 ( 0 , 0 ) 這一基本事件． ( 2 ) 搞不清 ξ 的所有可能值與 m 的所有可能值的關(guān)系．基本事件確定有誤． ( 3 ) 書寫不規(guī)范，計算錯誤． 主干知識梳理 1 ．條件概率 在 A 發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的概率： P ( B | A ) ＝P ( AB )P ( A ). 2 ．相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) ． 3 ．獨(dú)立重復(fù)試驗 如果事件 A 在一次試驗中發(fā)生的概率是 p ，那么它在n 次獨(dú)立重復(fù)試驗中 恰好發(fā)生 k 次的概率為 Pn( k ) ＝ Cknpk(1 － p )n － k， k ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n . 4 ．離散型隨機(jī)變量的分布列 ( 1 ) 設(shè)離散型隨機(jī)變量 ξ 可能取的值為 x1， x2， ? ， xi， ? ， ξ 取每一個值 xi的概率為 P ( ξ ＝ xi) ＝ pi，則稱下表： ξ x1 x2 x3 ? xi ? P p1 p2 p3 ? pi ? 為離散型隨機(jī)變量 ξ 的分布列． ( 2 ) 離散型隨機(jī)變量 ξ 的分布列具有兩個性質(zhì)：① pi≥ 0 ， ② p1＋ p2＋ ? ＋ pi＋ ? ＝ 1( i ＝ 1 , 2 , 3 ， ? ) ． 5 ．常見的離散型隨機(jī)變量的分布 ( 1 ) 兩點(diǎn)分布 分布列為 ( 其中 0 p 1 ) ξ 0 1 P 1 － p p ( 2 ) 二項分布 在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) ξ 是一個隨機(jī)變量，其所有可能取的值為 0 , 1 , 2 , 3 ， ? ， n ，并且 P ( ξ ＝ k ) ＝ Cknpkqn － k( 其中 k ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n ， q ＝ 1 － p ) ． 顯然 P ( ξ ＝ k ) ≥ 0( k ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n ) ， ∑nk ＝ 0Cknpkqn － k＝ 1. 稱這樣的隨機(jī)變量 ξ 服從參數(shù) n 和 p 的二項分布，記為 ξ ～ B ( n ， p ) ． 6 ．離散型隨機(jī)變量的期望與方差 若離散型隨機(jī)變量 ξ 的分布列為 ξ x1 x2 ? xn ? P p1 p2 ? pn ? 則稱 Eξ ＝ x1p1＋ x2p2＋ ? ＋ xnpn＋ ? 為 ξ 的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望． Dξ ＝ ( x1－ Eξ )2 B ) ＝ P ( A ) A4＋ B3 A5， 由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故 P ( B ) ＝ P ( A3 B4 A4＋ B3 B ) ＋ P ( A B A ) ＝1323＋ (23)213＝1027， P ( ξ ＝ 2) ＝ P ( A A ) ＝ (13)3＝127. 故 ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 1427 1027 227 127 數(shù)學(xué)期望 Eξ ＝ 0 1427＋ 1 1027＋ 2 227＋ 3 127＝1727. 題型三 隨機(jī)變量及分布列的綜合應(yīng)用 例 3 在某學(xué)校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投 3 次；在 A 處每投進(jìn)一球得 3 分，在 B 處每投進(jìn)一球得 2 分；如果前兩次得分之和超過 3 分即停止投籃，否則投第三次．某同學(xué)在 A 處的命中率q1為 0 . 2 5 ，在 B 處的命中率為 q2.該同學(xué)選擇先 在 A處投一球，以后都在 B 處投，用 ξ 表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為 ξ 0 2 3 4 5 P 0 . 0 3 p1 p2 p3 p4 ( 1 ) 求 q2的值； ( 2 ) 求隨機(jī)變量 ξ 的數(shù)學(xué)期望 Eξ ； ( 3 ) 試比較該同學(xué)選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分與選擇上述方式投籃得分超過 3 分的概率的大小． 思維啟迪 ( 1) ξ ＝ 0 對應(yīng)的事件是在三次投籃中沒有一次投中． ( 2) 類似地找清 ξ 為 2,3,4,5 對應(yīng)的事件． 解 (1 ) 由題設(shè)知， “ ξ ＝ 0 ” 對應(yīng)的事件為 “ 在三次投籃中沒有一次投中 ” ，由對立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)可知 P ( ξ ＝ 0) ＝ (1 － q1
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