高二數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布列-閱讀頁(yè)
2024-12-02 16:41本頁(yè)面
【正文】 分布列與數(shù)學(xué)期望． 解 ( 1) 甲、乙、丙三名學(xué)生每人選擇五個(gè)社團(tuán)的方法數(shù)是 5種， 故共有 5 5 5 ＝ 125( 種 ) ． ( 2) 三名學(xué)生選擇三個(gè)不同社團(tuán)的概率是A3553 ＝1225. ∴ 三名學(xué)生中至少有兩人選擇同一個(gè)社團(tuán)的概率為 1 －1225＝1325. ( 3 ) 由題意 ξ ＝ 0 , 1 , 2 , 3 . P ( ξ ＝ 0) ＝4353 ＝641 2 5； P ( ξ ＝ 1) ＝C13453 ＝121 2 5； P ( ξ ＝ 3) ＝C3353 ＝11 2 5， ∴ ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 641 2 5 481 2 5 121 2 5 11 2 5 ∴ 數(shù)學(xué)期望 Eξ ＝ 0 641 2 5＋ 1 481 2 5＋ 2 121 2 5＋ 3 11 2 5＝35. 規(guī)律方法總結(jié) 1 ． 互斥事件與對(duì)立事件 互斥事件強(qiáng)調(diào)兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即在一次試驗(yàn)中兩個(gè)互斥事件可以都不發(fā)生．兩事件是對(duì)立事件，則它們一定互斥，且在一次試驗(yàn)中兩對(duì)立事件有且只有一個(gè)發(fā)生，反過(guò)來(lái)，兩事件互斥，但不一定對(duì)立．故兩事件互斥是兩事件對(duì)立的必要不充分條件，對(duì)立事件是特殊的互斥事件． 2 ．求離散型隨機(jī)變量 ξ 的期望與方差的方法 ( 1 ) 理解 ξ 的意義，寫(xiě)出 ξ 可能取的全部值． ( 2 ) 求 ξ 取每個(gè)值的概率． ( 3 ) 寫(xiě)出 ξ 的分布列． ( 4 ) 由期望的定義求 Eξ . ( 5 ) 由方差的定義求 Dξ . 知能提升演練 一、選擇題 1 ．下列是 4 個(gè)關(guān)于離散型隨機(jī)變量 ξ 的期望和方差的 描述： ① Eξ 與 Dξ 是一個(gè)數(shù)值，它們是 ξ 本身所固有的特征數(shù)，它們不具有隨機(jī)性； ② 若離散型隨機(jī)變量一切可能取值位于區(qū)間 [ a ， b ] 內(nèi)，則 a ≤ Eξ ≤ b ； ③ 離散型隨機(jī)變量的期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差反映的是隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離 散的程度； ④ 離散型隨機(jī)變量的期望值可以是任何實(shí)數(shù)，而方差的值一定是非負(fù)實(shí)數(shù)． 以上 4 個(gè)描述正確的個(gè)數(shù)是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 解析 由定義及公式知 4 個(gè)命題都正確． D 2 ． ( 2 0 1 0 B P ( B ) [1 － P ( B )] B 上海 ) 某學(xué)校要從 5 名男生和 2 名女生中選出 2 人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量 ξ 表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望 Eξ ＝_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示 ) ． 解析 ξ 的可能取值為 0 , 1 , 2 ， P ( ξ ＝ 0) ＝C25C27＝1021， P ( ξ ＝ 1) ＝C15 C12C27＝1021， P ( ξ ＝ 2) ＝C22C27＝121， ∴ Eξ ＝1021 0 ＋1021 1 ＋121 2 ＝47. 47 7 ．設(shè)隨機(jī)變量 X ～ B (2 ， p ) ， Y ～ B (4 ， p ) ，若 P ( X ≥ 1) ＝59，則 P ( Y ≥ 1) ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 ∵ X ～ B (2 ， p ) ∴ P ( X ≥ 1) ＝ P ( X ＝ 1) ＋ P ( X ＝ 2) ＝ C12p (1 － p ) ＋ C22p2 ＝ 2 p － 2 p2＋ p2＝ 2 p － p2＝59， ∴ p ＝13. ∴ Y ～ B (4 ，13) ， P ( Y ＝ 0) ＝ C04(23)4＝1681， ∴ P ( Y ≥ 1) ＝ 1 － P ( Y ＝ 0) ＝6581. 6581 8 ．已知離散型隨機(jī)變量 X 的分布列如下表，若 EX ＝ 0 ， DX ＝ 1 ，則 a ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ， b ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . X － 1 0 1 2 P a b c 112 解析 由題意知????????? a ＋ b ＋ c ＝1112，－ a ＋ c ＋16＝ 0a ＋ c ＋13＝ 1 ，解得????????? a ＝512，b ＝14，c ＝14. 512 14 三、解答題 9 ．由于某高中建設(shè)了新校區(qū)，為了交通方便要用 三輛 通勤車(chē)從新校區(qū)把教師接到老校區(qū)，已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路，汽車(chē)走公路 ① 堵車(chē)的概率為14，不堵車(chē)的概率為34；汽車(chē)走公路 ② 堵車(chē)的概率為 p ，不堵車(chē)的概率為 1 － p ，若甲、乙兩輛汽車(chē)走公路 ① ，丙汽車(chē)由于其他原因走公路 ② ，且三輛車(chē)是否堵車(chē)相互之間沒(méi)有影響． ( 1 ) 若三輛汽車(chē)中恰有一輛汽車(chē)被堵的概率為716，求走公路 ② 堵車(chē)的概率； ( 2 ) 在 ( 1 ) 的條件下，求三輛汽車(chē)中被堵車(chē)輛的個(gè)數(shù) ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解 ( 1 ) 由已知條件得 C1234 p ＝716，即 3 p ＝ 1 ，則 p ＝13， ∴ p 的值為13. ( 2 ) ξ 可能的取值為 0 , 1 , 2 , 3 ， P ( ξ ＝ 0) ＝3423＝38， P ( ξ ＝ 1) ＝716， P ( ξ ＝ 2) ＝1423＋ C123414 B1) ＝ P ( A1)
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