【正文】 解析 由離散型隨機變量的性質(zhì)得 p i≥ 0 ， i＝ 1,2 ， ? n ，且 ?i ＝ 1np i＝ 1. 答案 D 3．已知隨機變量 X 的分布列為： P(X＝ k)＝ 12k， k＝ 1,2， ? ，則 P(2X≤ 4)等于 ( )． A. 316 C. 116 D. 516 解析 P(2X≤ 4)＝ P(X＝ 3)＋ P(X＝ 4)＝ 123＋ 124＝ 316. 答案 A 4．袋中有大小相同的 5 只鋼球，分別標(biāo)有 1,2,3,4,5 五個號碼，任意抽取 2 個球，設(shè) 2 個球號碼之和為 X，則 X 的所有可能取值個 數(shù)為 ( )． A． 25 B． 10 C． 7 D． 6 解析 X 的可能取值為 1＋ 2＝ 3,1＋ 3＝ 4,1＋ 4＝ 5＝ 2＋ 3， 1＋ 5＝ 6＝ 4＋ 2,2＋ 5＝ 7＝ 3＋ 4,3＋ 5＝ 8,4＋ 5＝ 9. 答案 C 5．設(shè)某運動員投籃投中的概率為 P＝ ，則一次投籃時投中次數(shù)的分布列是________． 解析 此分布列為兩點分布列． 答案 X 0 1 P 考向一 由統(tǒng)計數(shù)據(jù)求離散型隨機變量的 分布列 【例 1】 ?(2020泰州聯(lián)考 )三張卡片上分別寫上字母 E、 E、 B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞 BEE 的概率為 ________． 解析 三張卡片排成一排共有 BEE， EBE， EEB 三種情況，故恰好排成 BEE 的概率為 13. 答案 13 考向一 基本事件數(shù)的探求 【例 1】 ?做拋擲兩顆骰子的試驗：用 (x， y)表示結(jié)果，其中 x 表示第一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)， y 表示第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，寫出： (1)試驗的基本事件； (2)事件 “ 出現(xiàn)點數(shù)之和大于 8” ； (3)事件 “ 出現(xiàn)點數(shù)相等 ” ； (4)事件 “ 出現(xiàn)點數(shù)之和大于 10” ． [審題視點 ] 用列舉法一一列舉． 解 (1)這個試驗的基本事件為： (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6) (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (2,6) (3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， (3,5)， (3,6) (4,1)， (4,2)， (4,3)， (4,4)， (4,5)， (4,6) (5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,4)， (5,5)， (5,6) (6,1)， (6,2)， (6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6) (2)事件 “ 出現(xiàn)點數(shù)之和大于 8” 包含以下 10 個基本事件 (3,6)， (4,5)， (4,6)(5,4)，(5,5)， (5,6)， (6,3)， (6,4)， (6,5)， (6,6)． (3)事件 “ 出現(xiàn)點數(shù)相等 ” 包含以下 6 個基本事件 (1,1)， (2,2)， (3,3)， (4,4)， (5,5)，(6,6)． (4)事件 “ 出現(xiàn) 點數(shù)之和大于 10” 包含以下 3 個基本事件 (5,6)， (6,5)， (6,6)． 基本事件數(shù)的探求主要有兩種方法：列舉法和樹狀圖法． 【訓(xùn)練 1】 用紅、黃、藍三種不同顏色給圖中 3 個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，寫出： (1)試驗的基本事件； (2)事件 “ 3 個矩形顏色都相同 ” ； (3)事件 “ 3 個矩形顏色都不同 ” ． 解 (1)所有可能的基本事件共 27 個． (2)由圖可知，事件 “ 3 個矩形都涂同一 顏色 ” 包含以下 3 個基本事件：紅紅紅，黃黃黃，藍藍藍． (3)由圖可知，事件 “ 3 個矩形顏色都不同 ” 包含以下 6 個基本事件：紅黃藍，紅藍黃，黃紅藍，黃藍紅，藍紅黃，藍黃紅． 考向二 古典概型 【例 2】 ?現(xiàn)有 8 名 2020 年倫敦奧運會志愿者，其中志愿者 A1， A2， A3通曉日語，B1， B2， B3 通曉俄語， C1， C2 通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各 1 名，組成一個小組． (1)求 A1被選中的概率； (2)求 B1和 C1不全被選中的概率． [審題視點 ] 確定基本事件總數(shù)，可用排列組合或用列舉法，確定某事件所包含的基本事件數(shù)，用公式求解． 解 (1)從 8 人中選出日語、俄語和韓語志愿者各 1 名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件共有 C13C13C12＝ 18 個．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用 M 表示 “ A1恰被選中 ” 這一事件， 事件 M 由 C13C12＝ 6， 因而 P(M)＝ 618＝ 13. (2)用 N 表示 “ B C1 不全被選中 ” 這一事件，則其對立事件 N 表示 “ B C1全被選中 ” 這一事件，由于 N 包含 (A1， B1， C1)， (A2， B1， C1)， (A3， B1， C1)3個結(jié)果，事件 N 有 3 個基本事件組成，所以 P( N )＝ 318＝ 16，由對立事件的概率公式得 P(N)＝ 1－ P( N )＝ 1－ 16＝ 56. 古典概型是基本事件個數(shù)有限，每個基本事件發(fā)生的概率相等的一種概率模型，其概率等于隨機事件所包含的基本事件的個數(shù)與基本事件的總個數(shù)的比值． 【訓(xùn)練 2】 (2020陜西 )甲乙兩人一起去游 “ 2020 西安世園會 ” ，他們約定，各自獨立地從 1 到 6 號景點中任選 4 個進行游覽，每個景點參觀 1 小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是 ( )． A. 136 C. 536 解析 若用 {1,2,3,4,5,6}代表 6處景點，顯然甲、乙兩人選擇結(jié)果為 {1,1}、 {1,2}、{1,3}、 ? 、 {6,6}，共 36種；其中滿足題意的 “ 同一景點相遇 ” 包括 {1,1}、 {2,2}、{3,3}、 ? 、 {6,6}，共 6個基本事件，所以所求的概率值為 16. 答案 D 5． (2020 μA＝ 90－ 75＝ 15， μΩ＝ 90， 所以 P(D)＝ 1590＝ 16. 幾何概型的關(guān)鍵是選擇 “ 測度 ” ，如本例以角度為 “ 測度 ” ． 因為射線 CM 落在 ∠ ACB 內(nèi)的任意位置是等可能的．若以長度為 “ 測度 ” ，就是錯誤的，因為 M 在 AB 上的落點不是等可能的． 【訓(xùn)練 3】 (2020|AD|， S 矩形 ABCD＝ |AB||AD|. 故所求概率 P＝ S△ ABES矩形 ABCD＝ 12. 答案 C 考向三 與角度、體積有關(guān)的幾何概型 【例 3】 ?在 Rt△ ABC 中， ∠ A＝ 30176。第 3 講 幾何概型 【高考會這樣考】 以選擇題或填空題的形式考查與長度或面積有關(guān)的幾何概型的求法是高考對本內(nèi)容的熱點考法，特別是與平面幾何、函數(shù)等結(jié)合的幾何概型是高考的重點內(nèi)容．新課標(biāo)高考對幾何概型的要求較低，因此高考試卷中此類試題以低、中檔題為主． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時，準(zhǔn)確理解幾何概型的意義、構(gòu)造出度量區(qū)域是用幾何概型求隨機事件概率的關(guān)鍵，復(fù)習(xí)時要多反思和多領(lǐng)悟，掌握方法要領(lǐng)．同時要加強與平面區(qū)域、空間幾何體、平面向量、函數(shù)結(jié)合等方面的訓(xùn)練． 基礎(chǔ)梳理 1．幾何概型 事件 A 理解為區(qū)域 Ω的某一子區(qū)域 A， A 的概率只與子區(qū)域 A 的幾何度量 (長度、面積或體積 )成正比，而與 A 的位置和形狀無關(guān)．滿足以上條件的試驗稱為幾何概型． 2． 幾何概型中，事件 A 的概率計算公式 P(A)＝ 構(gòu)成事件 A的區(qū)域長度 ?面積或體積 ?試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 ?面積或體積 ?. 3． 要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點 (1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個； (2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有 等可能性． 一條規(guī)律 對于幾何概型的概率公式中的 “ 測度 ” 要有正確的認(rèn)識，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時，要掌握 “ 測度 ” 為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法． 兩種類型 (1)線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時． (2)面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )在線段 [0,3]上任投一點，則此點坐標(biāo) 小于 1 的概率為 ( )． D． 1 解析 點坐標(biāo)小于 1的區(qū)間長度為 1，故所求其概率為 13. 答案 B 2．一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為 30 秒，黃燈的時間為 5 秒，綠燈的時間為40 秒，當(dāng)某人到達路口時看見的是紅燈的概率是 ( )． 解析 以時間的長短進行度量，故 P＝ 3075＝ 25. 答案 B 3． (2020福建 )如圖， 矩形 ABCD 中，點 E 為邊 CD 的中點．若在矩形 ABCD 內(nèi)部隨機取一個點 Q，則點 Q 取自 △ ABE 內(nèi)部的概率等于 ( )． 解析 S△ ABE＝ 12|AB|2 ＝ 75176。蘭州月考 )從裝有 5 個紅球和 3 個白球的口袋內(nèi)任取 3 個球，那么互斥而不對立的事件是 ( )． A．至少有一個紅球與都是紅球 B．至少有一個紅球與都是白球 C．至少有一個紅球與至少有一個白球 D．恰有一個紅球與恰有二個紅球 解析 對于 A中的兩個事件不互斥，對于 B中兩個事件互斥且對立，對于 C中兩個事件不互斥，對于 D中的兩個互斥而不對立． 答案 D 4． (2020蘇州模擬 )甲： A1， A2是互斥事件；乙： A1， A2是對立事件，那么 ( )． A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件 【示例 2】 ? 拋擲一枚均勻的正方體骰子 (各面分別標(biāo)有數(shù)字 6)，事件 A 表示 “ 朝 上一面的數(shù)是奇數(shù) ” ，事件 B 表示 “ 朝上一面的數(shù)不超過 3” ，求 P(A∪ B)． 第 2 講 古典概型 【高考會這樣考】 1．考查古典概型概率公式的應(yīng)用，尤其是古典概型與互斥、對立事件的綜合問題更是高考的熱點． 2．在解答題中古典概型常與統(tǒng)計相結(jié)合進行綜合考查，考查學(xué)生分析和解決問題的能力，難度以中檔題為主． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．掌握解決古典概型的基本方法，列舉基本事件、隨機事件，從中找出基本事件的總個數(shù)，隨機事件所含有的基本事件的個數(shù)． 2．復(fù)習(xí)時要加強與統(tǒng)計相關(guān)的綜合題的訓(xùn)練，注重理解、分析、邏輯推理能力的提 升． 基礎(chǔ)梳理 1．基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是 互斥 的． (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和． 2． 古典概型 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． (1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件 只有有限個． (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性 相等． 3． 古典概型的概率公式 P(A)＝ A包含的基本事件的個數(shù) 基本事件的總數(shù) . 一條 規(guī)律 從集合的角度去看待概率，在一次試驗中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個集合I，基本事件的個數(shù) n 就是集合 I 的元素個數(shù)，事件 A是集合 I 的一個包含 m 個元素的子集．故 P(A)＝ card?A?card?I?＝ mn. 兩種方法 (1)列舉法：適合于較簡單的試驗． (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求．另外在確定基本事件時， (x， y)可以看成是有序的，如 (1,2)與 (2,1)不同；有時也可以看成是無序的，如 (1,2)與 (2,1)相同． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )一枚硬幣連擲 2 次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為 ( )． 解析 一枚硬幣連擲 2次，基本事件有 (正，正 )， (正，反 )， (反，正 )， (反，反 )，而只有一次出現(xiàn)正面的事件包括 (正，反 )， (反，正 )，故其概率為 24＝ 12. 答案 D 2．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的 概率是 ( )． 解析 甲共有 3種站法，故站在中間的概率為 13. 答案 C 3．?dāng)S一顆骰子，觀察擲出的點數(shù)，則擲得奇數(shù)點的概率為 ( )． 解析 擲一顆骰子共有 6種情況，其中奇數(shù)點的情況有 3種，故所求概率為：