[研究生入學(xué)考試]二維隨機(jī)變量及其分布-全文預(yù)覽
【正文】 0,( 0 ) ( ) ( ) .x y x y xyXXe e e x yX Y F x yF x f x???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ???例 設(shè)其 他其 中 為 參 數(shù) ， 求 和 ?解 ： 的 可 能 取 值 范 圍 是0x ?當(dāng) 時 ，( ) ( )XF x P X x??( , )P x Y? ? ? ? ?( , )Fx? ?? li m ( 1 )x y x y xyy e e e ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???1 , 0 。 由聯(lián)合分布還可以還可以反映 X和 Y的關(guān)系，這也是研究多維分布的原因所在。 ( 2 ) ( ) .P X Y P X Y? ? ?求 ：1 1 G1 ( 1 ) ( 1 , 1 )P X Y? ? ?1 2310 6 xye d x d y?? ??????????23( 1 )ee???? 0 .0 4 3 0 .?G2 ( 2 ) ( )P X Y??2300( 6 )x xye dy dx?? ???? 45?23 常用二維分布： 1 、 二 維 均 勻 分 布 ：( , )XY如 果 的 聯(lián) 合 密 度 函 數(shù) 為 ：? ?1, ( , )( , )0 , ( , )x y GSGf x yx y G???? ?? ??若若( , ) .X Y G則 稱 服 從 區(qū) 域 上 的 均 勻 分 布 { ( , ) : , } G x y a x b c y d? ? ? ? ?特 別 地 ， 若 ， 則1 ,( ) ( ) ( , ) 0 a x b c y db a d cf x y?? ? ? ????? ??? ， 其 他()G S G設(shè) 是 平 面 區(qū) 域 , 為 其 面 積 ，24 二維正態(tài)分布： ? ?ρ22221212( , ) e x p2 12 π 1uuf x y?? ? ??? ?????? ???? ??vv1 1 2 2, ( ) , ( ) .u x y? ? ? ?? ? ? ?其 中 v1 2 1 2 5.? ? ? ? ?在 其 密 度 函 數(shù) 中 含 有 ， ， ， 和 個 參 數(shù)221 2 1 2, , ,E X E Y D X D Y? ? ? ?? ? ? ? ；0 1 XY??? ， 表 示 、 的 相 關(guān) 系 數(shù) .25 例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)服從區(qū)域 G上的均勻分布， 求 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)。 概率計算： 補(bǔ)充說明： 類似地 ,可以定義更高維的連續(xù)隨機(jī)變量及其聯(lián)合 密度函數(shù)。4 3 1 2? ? ?( 4 , 1 )P X Y? ? ?( 4 ) ( 1 4 )P X P Y X? ? ?1 1 1 。 記 X、 Y分別表示第一、二次取出的球上的數(shù)字 . ( , )XY求 的 聯(lián) 合 分 布 列 .( 1 )PX ? ( 1 )PY??1,3?( 2 )PX ? ( 2 )PY???,XY 獨(dú) 立( , )( ) ( ) .ijijP X x Y yP X x P Y y??? ? ?121219924299XY16 例 2 從 1,2,3,4 中取一數(shù)記為 X,再從 1,…, X 中 取一數(shù)記為 Y,求 (X,Y)的聯(lián)合分布列及 P(X=Y)。從 袋中任取一球 ,不放回袋中 ,再從袋中任取一球。x x F x y F x y? ? ?1 2 1 2( , ) ( , ) .y y F x y F x y? ? ?0 ( , ) 1 。1 Department of Mathematics 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 主講人： 宣平 2022年 .秋學(xué)期 2 第五章 二維隨機(jī)變量及其分布 3 第一節(jié) 二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 4 一、二維隨機(jī)變量 12( ) , ( ) , ( )nX X X? ? ?定 義 ： 若 ， 是 定 義 在 同 一? ? n???樣 本 空 間 上 的 個 隨 機(jī) 變 量 ，12( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )nX X X X n? ? ? ??則 稱 , 為 維 隨 機(jī) 變 量 [ 向 量 ]如在研究兒童的發(fā)育時，涉及到身高和體重兩方面的 問題，在研究家庭的收支時則涉及更多個方面的因素。 ( , ) ( , ) ( , )F x y X Y x y聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 表 示 隨 機(jī) 點(diǎn) 落 在 點(diǎn).的 左 下 方 的 無 窮 矩 形 區(qū) 域 內(nèi) 的 概 率( , )xyXY6 三、二維聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)性 : 有界性 : 右連續(xù)性 : 非負(fù)性 : 1 2 1 2( , ) ( , ) 。 ( , )XY定 義 ： 設(shè) 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 可 能 取 值 為, , , 1 , 2 , 3 , .ijX x Y y i j? ? ?( , ) , , 1 , 2 ,i j i jP X x Y y p i j? ? ? ?則 稱( , )XY為 二 維 隨 機(jī) 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 列 .或 用 下 列 的 表 格 形 式 來 表 示 .12 11 12 121 22 212jji i ijp p pp p pp p pX Y1x2xix1y 2y jy二、二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合分布列 聯(lián)合分布列的基本性質(zhì) 非負(fù)性： 正則性： 0ijp ?111ijijp? ? ? ??????13 例 1 一口袋裝有 3個球 ,分別標(biāo)有數(shù)字 1,2,2。 放回袋中 ,再從袋中任取一球。4 2 8? ? ?( 3 , 1 )P X Y? ? ?( 3 ) ( 1 3 )P X P Y
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