【正文】 ( )bn i iannbbiiaaiif x x x f x fx x x A xLl??? ? ? ?????誤差： ? ?[ ] ( ) ( ) d ( ) dbb nnaaR f f x L x x R x x? ? ???( 1 )01()( ) ( )( ) ( )( 1 ) !nnnfR x x x x x x xn??? ? ? ??其中 07:49:44 Numerical Analysis 13 插值型求積公式 當(dāng) f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 時，有 即公式精確成立 ( ) 0nRx ? 0Rf ?[]( ) d d()bbaa nLxf x x x???性質(zhì) ：插值型求積公式具有至少 n 次代數(shù)精度 定理 ：下面的求積公式具有 至少 n 次代數(shù)精度 的充要條件是該 公式是插值型 的 0( )d ( )nbiiaif x x A f x?? ?? 證明： P101 07:49:44 Numerical Analysis 14 求積公式余項(xiàng) 性質(zhì) ：若求積公式的代數(shù)精度為 m，則余項(xiàng)為 ( 1 )0[ ] ( )d ( ) ( )nbmiiaiR f f x x A f x K f ???? ? ???其中 K 為待定系數(shù)，但與 f (x) 無關(guān) ( , )ab? ?如何確定 K 的值？ ? 將 f (x) = xm+1 代入可得 110d ( 1 ) !nbmmiiaix x A x K m???? ? ? ???22101( 1 ) ! 2mm nmiiibaK A xmm????????????? ?? ?07:49:44 Numerical Analysis 15 舉例 例： 試確定梯形公式的余項(xiàng)表達(dá)式 解： 梯形公式 ( )d ( ) ( )22ba b a b af x x f a f b?????代數(shù)精度為 1，故 22101( 1 ) ! 2mm nmiiibaK A xmm????????????? ?? ?332212 ! 3 2 2b a b a b aab??? ? ?? ? ????? ? ?3112 ba? ? ?所以梯形公式的余項(xiàng)為 ? ? 31[ ] 39。所以求積公式為 102 1 1( ) d ( 0 ) ( 1 ) 39。 07:49:44 Numerical Analysis 10 舉例 例： (P100) 試確定下面求積公式中的系數(shù) ， 使其具有盡可能高的代數(shù)精度。 ? 但對 f (x) = xm+1 不精確成立。如 61()1fx x? ?07:49:44 Numerical Analysis 5 幾個簡單公式 ? 矩形公式 ( ) d ( ) ( )ba f x x b a f a???( )d ( ) 2baabf x x b a f ????? ?????( ) d ( ) ( )ba f x x b a f b???? 梯形公式 ? ?1( )d ( ) ( ) ( )2ba f x x b a f a f b? ? ??? 拋物線公式 1( )d ( ) ( ) 4 ( )62baabf x x b a f a f f b?? ???? ? ? ????? ?????( ) d ( ) ( )baf x x b a f ????? 基本思想： ( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 6 一般形式 數(shù)值積分公式的一般形式 0( )d ( )nbiiaif x x A f x?? ??求積節(jié)點(diǎn) 求積系數(shù) 機(jī)械求積方法 ? 將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的 函數(shù)值 的計(jì)算 ? 無需求原函數(shù) ? 易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 一般地，用 f(x) 在 [a, b] 上的一些離散點(diǎn) a ? x0 x1 如 21( ) s i n , xf x x ex??(1) F(x) 表達(dá)式較復(fù)雜 時，計(jì)算較困難。 xn ? b 上的函數(shù)值的加權(quán)平均作為 f (?) 的近似值，可得 07:49:44 Numerical Analysis 7 代數(shù)精度 定義 ：如果對于所有次數(shù)不超過 m 的多項(xiàng)式 f (x) ，公式 精確成立，但對某個次數(shù)為 m +1 的多項(xiàng)式不精確成立，則稱該求積公式具有 m 次代數(shù)精度 0( )d ( )nbiiaif x x A f x?? ??? 將 f (x) = 1, x, x2, … , xm 依次代入，公式精確成立 。所以求積公式為 3])1()0(4)1([ d)(1 1 fffxxf ??????易驗(yàn)證該公式對 f (x)＝ x3 也精確成立，但對 f (x)＝ x4 不精確成立，所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。 解： 將 f (x)＝ 1, x, x2 代入求積公式，使其精確成立，可得 011011 0 .51 / 3AAABA???? ???? ??解得 A0 =2/3, A1 = 1/3, B0 =1/6。 ( 0 )3 3 6f x x f f f? ? ??解： 由前面的計(jì)算可知，該公式的代數(shù)精度為 2，故 22101( 1 ) ! 2mm nmiiibaK A xmm????????????? ?? ?所以該公式的余項(xiàng)為 ( 3 )1[ ] ( )72R f f ???( 0 , 1 )? ?1 1 1 1003 ! 4 3 7 2??? ? ? ? ? ?????07:49:44 Numerical Analysis 17 收斂性 定義 ：如果求積公式 滿足 則稱該求積公式是 收斂的 。 xn ? b ，令 ?xi = xi –xi1 0 0l i m ( ) ( ) dn bii ahiA f x f x x? ??? ? 1m ax iinhx????07:49:44 Numerical Analysis 18 穩(wěn)定性 定義 ：對 ?? 0，若存在 ? 0，使得當(dāng) ( i = 0, 1, … , n) 時，有 則稱該求積公式是 穩(wěn)定的。 xxxnffR niiband )( )!1( )(0)1( ??????? ?][ d )(0????? ba nii xxxx = a + t h 20 0 ( ) d nnnih t i t??????t = n s ? ? d )()1(0 021 ? ???? ???? n ninn sinsh ][][ fRfR ??0?][ fR? ?120 0( 1 ) d nnnnih s i s???? ? ???即 07:49:44 Numerical Analysis 24 NC 公式余項(xiàng) ? 梯形公式 (n=1) 的余項(xiàng) 31[ ] ( ) ( )12R f b a f ?? ? ? 39。 2 ()12ba hf ???? 39。 sin() xfxx?10 ( ) df x x?xi 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 f (xi ) 1 解： 78 0 81( ) 2 ( ) ( ) 0 . 9 4 5 6 9 0 92 T iihT f x f x f x???? ? ? ????? ?? ?4 0 1 3 5 7( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )6 ShS f x f x f x f x f x?? ? ? ? ??? ? ? 9 4 6 0 8 3 )()()()(2 8642 ????? xfxfxfxf07:49:44 Numerical Analysis 32 舉例 誤差估計(jì) 23[ ] ( ) 0 . 4 3 4 1 012TTbaR f h f ? ??? ? ? ?39。復(fù)合梯形公式 07:49:44 Numerical Analysis 34 舉例 復(fù)合 simpson公式 44 ( 4 ) 1[ ] ( )2 8 8 0 2 8 8 0SSb a eR f h fn?? ??? ? ?????要使誤差不超過 ? 105 ，需要 3 .7 1n ? 故取 n=4 4511 102 8 8 0 2en??? ?????? 8 等分 07:49:44 Numerical Analysis 35 Romberg 算法 太 大 利用復(fù)合梯形公式、復(fù)合 simpson公式、復(fù)合 Cotes公式等計(jì)算定積分時， 如何選取步長 h ？ 計(jì)算精度難以保證 太 小 增加額外的計(jì)算量 解決辦法：采用 變步長算法 通常采取將區(qū)間 不斷對分 的方法，即取 n = 2k ，反復(fù)使用復(fù)合求積公式 ，直到所得到的計(jì)算結(jié)果滿足指定的精度為止。 0(( ) d ( )) nbiiaixf x x A f x??? ??證明 : P119 07:49:44 Numerical Analysis 53 Gauss 點(diǎn) 證明： x0 … xn 為 Gauss 點(diǎn) 設(shè) p(x)?Hn ， 則 p(x)?n+1(x) ?H2n+1 110( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0nbn i i n iaix p x x d x A p x x? ? ????????“?” 0()n iiiA p x?? ?設(shè) 1( ) ( ) ( ) ( )np x x q x r x? ???1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b bna a ax p x d x x x q x d x x r x d x? ? ? ????? ? ?00 ( )n iiiA r x??? ?0( ) ( ) ( )nb iiaix f x d x A f x??? ??代數(shù)精度 ? 2n+1 要證 xi 為 Gauss 點(diǎn)，即公式對 ? p(x)? H2n+1精確成立 “ ?” p(x), r(x)?Hn ① 正交性 ② 公式是 插值型 的 將 li(x) 為代入即可得 Ai 的表達(dá)式。( )n i ip x f x? ?( 2 2 )22 1 10()( ) ( ) ( ) d( 2 2 ) !nn bxi n i naifA p