數(shù)值分析講義(東北大學(xué))第七章數(shù)值積分-全文預(yù)覽
【正文】 )/n, 而且有 于是有 )]()(2)([2 11bfxfafhT nk kn??? ???)]()(2)(2)([4 1112 21 bfxfxfafhT nk knk kn???? ?? ??? ?hkax k )( 2121????nnk knk knn SbfxfxfafhTT ?????? ?? ??? ?)]()(2)(4)([634 111221)))(((22)(22 21112 21 nabkafnabTxfhTT nknnk knn???????? ???? ?因此有逐次分半的復(fù)化梯形公式的遞推公式： 只要 而且，要使 )]()([212 0 bfafabTT ???????????????? ??????,3,2,1,)2))(((2211 2112122kabiafabTTkkkikk,2 ??? kTI .3122 ??? ?kk TT也有逐次分半的復(fù)化 Simpson公式的遞推公式： )]()([212 0 bfafabTT ?????,3,2,1,)2 ))(((2211 21 12122 ??????? ? ??? ?kabiafabTTkkki kk???????????? ?,3,2,1,34 11222kTTSkkk由復(fù)化 Simpson公式的誤差估計(jì)式有： ),(,)(2 8 8 0 )( )4(45bafnabSI n ????? ??),(,)()2(2 8 8 0 )( )4(452 bafnabSIn ????? ??所以有 162???nnSISI由此得 1516 2 nn SSI ?? )(15122 nnn SSSI ???或 一方面，若 |S2nSn|15? ,則有近似誤差 |IS2n|? . 另一方面 ,(16S2nSn)/15應(yīng)比 Sn和 S2n的近似程度更好 .事實(shí)上 ,有 (16S2nSn)/15=Cn ),(,)(1 9 3 5 3 6 0)( )6(67bafnabCI n ????? ??),(,)()2(1 9 3 5 3 6 0 )( )6(672 bafnabSIn ????? ??所以有 642???nnCICI由此得 6364 2 nn CCI ?? )(63122 nnn CCCI ???或 一方面，若 |C2nCn|63? ,則有近似誤差 |IC2n|? . 另一方面 ,(64C2nCn)/63應(yīng)比 Cn和 C2n的近似程度更好 . 記 (64C2nCn)/63=Rn,稱為 Romberg求積公式 . 類似地 ,由于 用 Tm(k)(m=1,2,3,4)分別表示把區(qū)間 2k等分的復(fù)化梯形公式 ,復(fù)化 Simpson公式 , 復(fù)化 Cotes公式和 Romberg求積公式 . )]()([201 bfafabT ????,3,2,1,)2 ))(((22121 121)1(1)(1 ??????? ? ?? ??kabiafabTTki kkkk??????????????3,2,1,3,2,1,144)()1()(1mkTTTmkmkmmkm? 而且，要使 |ITm(k)|? ,只要 |Tm(k)Tm(k1)|(4m1)? (m=1,2,3,4). ),( 2)(42)(32)(22)(1 kkkk RTCTSTTT kkkk ???? 則有 若對(duì) Romberg求積公式作組合也有 nnnn RRRRI1411441444244424??????? 實(shí)際計(jì)算可按下表順序進(jìn)行 k 區(qū)間等分?jǐn)?shù) n=2k 梯形公式 T1(k) Simpson公式 T2(k) Cotes公式 T3(k) Romberg公式 T4(k) 0 1 2 3 4 ? 1 2 4 8 16 ? T1(0) T1(1) T1(2) T1(3) T1(4) ? T2(0) T2(1) T2(2) T2(3) ? T3(0) T3(1) T3(2) ? T4(0) T4(1) ? 例 11 利用 Romberg積分公式計(jì)算積分 ? ?? 10 21 4 dxxI 解 按遞推公式計(jì)算 ,結(jié)果如下 可見(jiàn) ,由于 |T1(4)T1(3)|=,應(yīng)有 |IT1(4)|. k n=2k T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) 0 1 2 3 4 1 2 4 8 16 由于 |T2(3)T2(2)|=,應(yīng)有 |IT2(3)|. 由于 |T3(2)T3(1)|=,應(yīng)有 |IT3(2)|. 由于 |T4(1)T4(0)|=,應(yīng)有 |IT4(1)|. 定理 區(qū)間 [a,b]上權(quán)函數(shù)為 ?(x)的具有 n個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值積分公式代數(shù)精度不超過(guò) 2n1次 . 取 2n次多項(xiàng)式 p(x)=(xx1)2(xx2)2… (xxn)2,則有 167。 3 復(fù)化求積公式 xk=a+kh , k=0,1,2,… ,n , h=(ba)/n 由定積分的區(qū)間可加性 ,有 )()()(1 1?? ?? ??ba nkxxkkdxxfdxxf? ?? ???ba nk kkxfxfhdxxf1 1)]()([2)()]()(...)()()()()()([2 1322110 nn xfxfxfxfxfxfxfxfh ????????? ?)]()(2)([211bfxfafh nk k??? ???)]()(2)([2)( 11bfxfafhTdxxfI nk knba ????? ????可見(jiàn) ,復(fù)化梯形公式是收斂的。 2 求積公式的代數(shù)精度 ???? nk kkba xfAdxxf 0 )()(mjxAdxx nkjkkbaj , . . . ,2,1,0,0?? ???????? ? nkmkkbam xAdxx011則稱此公式 具有 m次代數(shù)精度 . 可見(jiàn) , 若公式具有 m次代數(shù)精度 ,則公式對(duì)所有次數(shù)不超過(guò) m的多項(xiàng)式都精確成立 . n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有 n次代數(shù)精度 ,n是偶數(shù)時(shí)具有 n+1次代數(shù)精度 . ,具有 n次代數(shù)精度 ,則 若求積公式 …………………… () ???? nk kkb
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