【正文】 x x x xn??? ?????? ?? ?( 2 2 )22 1 1()( ) ( ) ( )( 2 2 ) !nxnnff x p x xn? ?????? ?( 2 2 )22 1 1()( ) d ( ) d ( ) d( 2 2 ) !nb b bxnna a aff x x p x x x xn? ?????? ?? ? ?( 2 2 )21()[ ] ( ) ( ) d( 2 2 ) !n bnafR f x x xn? ????? ? ?( , )ab? ?07:49:44 Numerical Analysis 58 收斂性與穩(wěn)定性 0l i m ( ) ( ) ( ) dn bii aniA f x x f x x??? ??? ?可以證明：當(dāng) a, b 為有限數(shù)，且 f (x) ?C[a, b] 時(shí) Gauss 型公式是收斂的 令 2( ) ( )if x l x? 220( ) ( ) d ( )nbi i i j iajx l x x A l x A??????0iA ?Gauss 型公式是穩(wěn)定的 07:49:44 Numerical Analysis 59 GL 公式 ? 積分區(qū)間 : [1, 1] ? 權(quán)函數(shù) : ?(x) = 1 GaussLegendre 求積公式 Gauss 點(diǎn) = Legendre 多項(xiàng)式 pn+1(x) 的零點(diǎn) 11 0( ) d ( )niiif x x A f x? ?? ??? GL 求積公式 : 07:49:44 Numerical Analysis 60 簡(jiǎn)單 GL 公式 ? n =0 時(shí) , GL 求積公式 : Gauss 點(diǎn) : 0 0x ?11 ( ) d 2 ( 0 )f x x f? ??將 f (x)＝ 1 代入求出 A0 ? n =1 時(shí) , 兩點(diǎn) GL 求積公式 : Gauss 點(diǎn) : 0133,33xx? ? ?1133( ) d 33f x x f f?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??將 f (x)＝ 1, x 代入 求出 A0 , A1 211P ( ) ( 3 1 )2n xx? ??1P ( )n xx? ?07:49:44 Numerical Analysis 61 簡(jiǎn)單 GL 公式 ? n =2 時(shí) , 三點(diǎn) GL 求積公式 : Gauss 點(diǎn) : 0 1 21 5 1 5, 0 , ,55x x x? ? ? ?115 1 5 8 5 1 5( ) d ( 0 )9 5 9 9 5f x x f f f?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??311P ( ) ( 5 3 )2n x x x? ??07:49:44 Numerical Analysis 62 更多 GL 公式 當(dāng) n 3 時(shí)，可用數(shù)值方法計(jì)算 Pn+1(x) 的零點(diǎn) n 節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) Gauss點(diǎn) Gauss系數(shù) 0 1 1 2 ? 2 3 ? 3 4 ? ? 4 5 ? ? 5 6 ? ? ? 07:49:44 Numerical Analysis 63 余項(xiàng) ? 余項(xiàng) : ? ?? ?422( 2 2 )32 ( 1 ) ! ( )( 2 3 ) ( 2 2 ) !nnn fnn??????? ? ? (1, 1) ( 2 2 )21()[ ] ( ) ( ) d( 2 2 ) !n bnafR f x x xn? ????? ? ?07:49:44 Numerical Analysis 64 GL 公式 一般區(qū)間上的 GL 求積公式 ? 變量代換 22b a b axt????11 0( ) d ( ) d ( )2nbiiaibaf x x g t t A g t? ???? ???()22b a b ag t f t??????????07:49:44 Numerical Analysis 65 舉例 例： 用四點(diǎn) GL公式 (n=3) 計(jì)算定積分 20 co s ( ) dx x x??解： 令 44xt????? ?2 2( ) 1 co s ( 1 )1 6 4g t t t??? ? ?? ?20 . 5 1 2201co s ( ) d 1 co s ( 1 ) d4 1 6 4x x x t t t? ? ? ??? ? ???[ 0. 34 79 ( 0. 86 11 ) 0. 65 21 ( 0. 34 00 )4 0. 65 21 ( 0. 34 00 ) 0. 34 79 ( 0. 86 11 ) ]gggg?? ? ? ????[ ] = 0. 46 74 01 1 00 27 23 4If07:49:44 Numerical Analysis 66 GC 公式 ? 積分區(qū)間 : [1, 1] ? 權(quán)函數(shù) : GaussChebyshev 求積公式 Gauss 點(diǎn) = Chebyshev 多項(xiàng)式 Tn+1(x) 的零點(diǎn) 211 0((11) d )niiif x x A f xx? ??? ??? GC 求積公式 : 21()1xx? ??07:49:44 Numerical Analysis 67 GC 公式 ? Tn+1(x) 的零點(diǎn) 21co s22iixn ????? ????? (i = 0, 1, … , n) ? Gauss 系數(shù) 1iA n??? (i = 0, 1, … , n) 211 0( ) 11d ( )1niif x x f xnx?? ???? ??? GC 求積公式 : ? 余項(xiàng) : [] ( 2 2 )22 2 ( )2 ( 2 2 ) ! nnR f fn? ???? ?? ? (1, 1) 07:49:44 Numerical Analysis 68 簡(jiǎn)單 GC 公式 ? n = 0 1 2 1 / 21 ( 1 ) ( ) d ( 0 )x f x x f??? ???? n = 1 ? ? ? ?1 2 1 / 21 ( 1 ) ( ) d 2 2 2 22x f x x f f??? ??? ? ? ????? n = 2 兩點(diǎn) GC 公式 三點(diǎn) GC 公式 ? ? ? ? ? ?1 2 1 / 21 ( 1 ) ( ) d 3 2 0 3 23x f x x f f f??? ??? ? ? ? ????一般區(qū)間上的 GC 求積公式 ? 變量代換 22b a b axt????07:49:44 Numerical Analysis 69 舉例 例： 用五點(diǎn) GC公式計(jì)算定積分 211 d1xxex? ??解： 直接代公式可得 ?41 021 21 d co1s5 2 2ix ixf nex? ?? ??? ???????? ?????? ??誤差估計(jì) [] ?? ?? ? ( 2 2 )22 2 ( )2 ( 2 2 ) ! nnR f fn? ??? ? ?? 910 2 4 . 6 1 02 1 0 ! e?07:49:44 Numerical Analysis 70 GaussLaguerre 公式 (自學(xué) ) ? 積分區(qū)間 : [0, ?] ? 權(quán)函數(shù) : GaussLaguerre 求積公式 Gauss 點(diǎn) = Laguerre 多項(xiàng)式 Ln+1(x) 的零點(diǎn) 0 0( ) d ( )xniiif x x A f xe??? ? ??? GaussLaguerre 求積公式 : () xxe? ?? d( ) ( )dnx n xn nL x e x ex??07:49:44 Numerical Analysis 71 幾點(diǎn)注記 ? Gauss 型求積公式的優(yōu)點(diǎn) ? 計(jì)算精度高 ? 可計(jì)算無(wú)窮區(qū)間上的積分和奇異積分 ? Gauss 型求積公式的缺點(diǎn) ? 需計(jì)算 Gauss 點(diǎn)和 Gauss 系數(shù) ? 增加節(jié)點(diǎn)時(shí)需重新計(jì)算 ? 復(fù)合 Gauss求積公式 ? 將積分區(qū)間分隔成若干小區(qū)間 ? 在每個(gè)小區(qū)間上使用 Gauss 求積公式 07:49:44 Numerical Analysis 72 本講內(nèi)容 ? 基本思想 ? 計(jì)算方法 ? 多重積分 ? 數(shù)值微分 ? 問題描述 ? 計(jì)算方法 07:49:44 Numerical Analysis 73 多重積分 ( , ) df x y v???? 計(jì)算二重積分 ? 基本思想： 化成累次積分 ( , ) d ( , ) d dbdacf x y v f x y y x???? ? ?[ , ] [ , ]a b c d? ? ?2R??07:49:44 Numerical Analysis 74 舉例 例： 用兩點(diǎn) Gauss求積公式計(jì)算二重積分 222dx y v???? [ 1 , 1 ] [ 1 , 1 ]? ? ? ? ?令 ，可得 令 ，可得 解： 112 2 2 2112 d 2 d dx y v x y y x??? ? ? ??? ? ?1 2 2 213 3 42 d , , 23 3 3x y y f x f x x?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??22( , ) 2f x y x y??2 4( ) 23g x x??1 1 1221 1 1332 d d ( ) d 433x y y x g x x g g? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?07:49:44 Numerical Analysis 75 復(fù)合公式 ? 復(fù)合公式 ? 對(duì)變量分別積分時(shí)，采用復(fù)合求積公式 07:49:44 Numerical Analysis 76 數(shù)值微分（自學(xué) ） ? 數(shù)值微分 已知 f(x) 在節(jié)點(diǎn) a ? x0 x1 39。( ) 39。 x f x f h f39。 39。 x f x f x f fxh ?? ? ? ?