武漢大學(xué)數(shù)值分析課件第8講常微分方程數(shù)值解法-全文預(yù)覽
【正文】 它每一步計(jì)算 f(x,y)兩次，截?cái)嗾`差為 O(h3) ???????????????),(),()(2121211hkyhxfkyxfkkkhyyiiiiiiydtdy ??10,1)0( ??? tytey ??精確解 ： function [t,y] = Heun(ode,tspan,h,y0) t = (tspan(1):h:tspan(end))39。 缺點(diǎn)：一階精度。 for i=2:n k1 = feval(ode,t(i1),y(i1))。)()),(),(,()(39。 float h, hh, k1, k2, k3, k4, t_old, t_limit, t_mid, t_new, t_pr, y, ya, yn。 scanf( %f, amp。nstep_pr )。 y = 。 /* Time is initialized. */ hh = h/2。 printf( % % \n, t_new, y )。 t_new = t_new + h。 k1 = h*fun( yn, t_old )。 k3 = h*fun( ya, t_mid )。 } printf( % % \n, t_new, y )。 printf( Type 1 to continue, or 0 to stop.\n )。 } } double fun(y, t) float y, t。 } 四 誤差的控制 我們常用事后估計(jì)法來估計(jì)誤差，即從 xi出發(fā)，用兩種辦法計(jì)算 y(xi+1)的近似值。 )( 1hiy?)2/( 1hiy?????? ?? )( 1)2/( 1 hihi yy)2/( 1hiy ?自適應(yīng)： 使用 2個(gè)不同的 h。 Ode23 非剛性 , 單步法 , 二三階 RungeKutta,精度低 Ode45非剛性 , 單步法 , 四五階 RungeKutta,精度較高 ,最常用 Ode113非剛性 , 多步法 , 采用可變階 (113)Adams PECE 算法 , 精度可高可低 Ode15s 剛性 , 多步法 ,采用 Gear’s (或 BDF)算法 , 精度中等 . 如果 ode45很慢 , 系統(tǒng)可能是剛性的 ,可試此法 Ode23s 剛性 , 單步法 , 采用 2階 Rosenbrock法 , 精度較低 , 可解決 ode15s 效果不好的剛性方程 . Ode23t 適度剛性 , 采用梯形法則 ,適用于輕微剛性系統(tǒng) ,給出的解無數(shù)值衰減 . Ode23tb 剛性 , TRBDF2, 即 RK的第一級用梯形法則 ,第二級用 Gear 法 . 精度較低 , 對于誤差允許范圍比較差的情況 ,比 ode15s好 . Matlab 函數(shù) Matlab’s ode23 (Bogacki, Shampine) ).9865(72),(),432(9),43,43(),21,2(),(4321114321123121kkkkheyhxfkkkkhyyhkyhxfkhkyhxfkyxfknnnnnnnnnnn?????????????????????RungeKuttaFehlberg方法 (RKF45) ).401141041859256535442278,2(),410484551336808216439,(),3272962197720021971932,1312(),329323,83(),41,4(),(543216432153214213121hkhkhkhkhkyhxfkhkhkhkhkyhxfkhkhkhkyhxfkhkhkyhxfkhkyhxfkyxfknnnnnnnnnnnn??????????????????????????4階 RungeKutta近似 hkhkhkhkyz nn 54311 51410421972565140821625 ??????5階 RungeKutta近似 hkhkhkhkhkyynn 654311 55
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