常微分方程的初等解法畢業(yè)論文-全文預覽
【正文】 乘方程兩邊，得到 或者寫成 因而，通解為 (c為任意常數(shù)) 例7 求方程的通解。 對于方程，如果存在只與x有關(guān)的積分因子，則，這時方程變成，即，由此可知，方程有只與x有關(guān)的積分因子的充要條件是，這里僅為x的函數(shù)。 由（）看到，同一方程可以有不同的積分因子。 如果是恰當微分方程我們可以利用“分項組合”的辦法來求解。為此，在上式中把c看成為x的待定函數(shù)c（x）,即，② 微分之，得到 ，③ 把②，③代入①，得到 ， 積分之，求得 因此，以所求的c（x）代入②，即得原方程的通解 ， （為任意常數(shù)）、恰當微分方程與積分因子 如果方程，的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，即+=則稱原式為恰當微分方程。常數(shù)變易法實際上也是一種變量變換的方法，通過變換（）可將方程（）化為變量分離方程。不難看出，（）是（）的特殊情形，可以設想（）中將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c(x).令，（）微分之，得到，（）.將（）,()代入（），得到。若Q（x）=0，（）變?yōu)?，（）?)稱為一階其次線性微分方程。 上述解題的方法和步驟也適用于比方程（）更一般的方程類型。若令（）。 ②情形。即。例1：方程就可以用變量分離法求解方程解： 變量分離，得到 ， 兩邊積分，即得 ， 因而，通解為 ，（c為任意常數(shù)）、可化為變量分離方程的類型(1) 形如，（）的方程，稱為齊次微分方程，這里是u的連續(xù)函數(shù)。一階常微分的初等解法包括變量分離方程與變量變換﹑可以化為變量分離方程的類型﹑線性微分方程與常數(shù)變易法﹑恰當微分方程與積分因子，下面我們就具體分析一階常微分方程的初等解法。也可以由通解的表達式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助于進行關(guān)于解的其他研究。對這些規(guī)律的描述﹑認識和分析就歸結(jié)為對相應的常微分方程的理論和方法不僅廣泛應用于自然科學，而且越來越多的應用于社會科學各個領(lǐng)域。常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概況 ：自變量﹑未知函數(shù)及函數(shù)的導數(shù)（或微分）組成的關(guān)系式，得到的便是微分方程，通過求解微分方程求出未知函數(shù)，自變量只有一個的微分方程稱為常微分方程。如牛頓運動規(guī)律、萬有引力﹑能量守恒﹑人口發(fā)展規(guī)律﹑生態(tài)總?cè)焊偁帺p疾病傳染﹑遺傳基因變異﹑股票的漲伏趨勢﹑利率的浮動﹑市場均衡價格的變化等。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解。應該說，應用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發(fā)展，使這門學科的理論更加完善。兩邊積分得到，（）。解 這是齊次微分方程，以 及代入，則原方程變?yōu)?。這時方程化為，有通解，其中c 為任意常數(shù)。如果方程()中，不全為零，方程右端分子﹑分母都是x，y的一次多項式，因此（）.代表Oxy平面上兩條相交的直線，設交點為。如果方程（）中，可不必求解（），直接取變換即可。其中P（x），Q（x）在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)?，F(xiàn)在討論非奇次線性微分方程（）通解的求法。這種將常數(shù)
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