常微分方程的初等解法與求解技巧-全文預(yù)覽
【正文】 足（42），即，故有 ， （44）則有（44）的右端只與有關(guān)，事實(shí)上是僅僅需證明（44）的右端滿足下列等式，故（44）式的右端只與有關(guān)，故可以得到：，將代入（43）中求得：，為任意常數(shù).舉例：驗(yàn)證方程是恰當(dāng)微分方程，并求出其解.解：先驗(yàn)證是恰當(dāng)微分方程，因，.且有 ，.即可得，則原方程為恰當(dāng)微分方程.故可設(shè)：，則有： ， （45）， （46）由方程（45）可以解得：，為了確定，在的兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并使之滿足等式：，于是可得： ，積分后可得： ，故 ，因此可得原方程的通解為： ，這里為任意常數(shù).定義：如果存在且為連續(xù)可微的函數(shù)，使得：，恰好為恰當(dāng)微分方程，也就是存在一個(gè),滿足下列等式：，則函數(shù)稱為方程的積分因子，的解為：，為任意常數(shù).它也是方程的通解.求法：方程 有只與有關(guān)的積分因子的等價(jià)條件是：，這里僅為的函數(shù).則方程的一個(gè)積分因子為：，方程有只與有關(guān)的積分因子的等價(jià)條件是：,這里僅為函數(shù)，則方程的一個(gè)積分因子為：.舉例：求方程的解 .解：由題意可知：,則有： ，故可求得積分因子為: ，原式兩邊同乘可得：，則有 ， （47）， （48）由（47）式兩邊積分得： ，為了確定，在的兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得：，與（48）比較可得： ，兩邊積分可得： ,故原方程的解為： ，為任意常數(shù).在這一章中，主要介紹以下四種類型：（1）；（2）；（3）；（4）.類型一：.首先討論形如方程的解法，其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)為了討論的簡(jiǎn)單引入?yún)?shù)，代入中可得：，對(duì)進(jìn)行對(duì)求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，其中僅與有關(guān)，并將代入，因此得：，可以求得該方程的解.（1） 若解出的值：，則可以得到：，因此原方程的通解為： ，這里為任意常數(shù).（2）若解出的值：，于是原方程的通解為： 其中為參數(shù)，為任意常數(shù).（3）若解出的表達(dá)式滿足：因此得到原方程的通解為： 其中為參數(shù)，為任意常數(shù).舉例：求方程的解.解：由題可知這個(gè)方程為的類型，故引入?yún)?shù)，令，代入原式中，并解出，即 ，在這個(gè)式子兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得到:，化解得： ，則有： 或.當(dāng)時(shí)，解得：，將之代入中化簡(jiǎn)得： ，為任意常數(shù)．當(dāng)時(shí)，解得，將之代入中又得到方程一個(gè)解為：，故方程的解為： ，（為任意常數(shù)）或.類型二：．討論的解法，假設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).同樣為了討論方便引入?yún)?shù)，代入中得：，兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，其中將代入得到：，這個(gè)方程為關(guān)于，的一階微分方程，故可運(yùn)用前面學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)來求其通解，不妨設(shè)求得通解為： ，則得原方程的通解為： 舉例：求解方程.解：該方程為第二種類型，可解出,并引入?yún)?shù)代入的表達(dá)式中可得：，,
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