圓錐曲線的共軛直徑-全文預(yù)覽
【正文】 圓的任一直徑，點(diǎn)是異于的任意一點(diǎn)，性質(zhì)5若、是橢圓的一對(duì)非互相垂直的共軛直徑，則。顯然，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸是一對(duì)共軛直徑，任意一對(duì)長(zhǎng)半軸和短半軸是一對(duì)共軛半徑。 經(jīng)過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑，若是橢圓的一條直徑，在橢圓上作與平行的弦，實(shí)際上，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，若直線的斜率存在，由性質(zhì)1第一問的橢圓參數(shù)方程解法知，即是橢圓的兩條共軛半徑。由圖形直觀知，要的面積最大，則橢圓在點(diǎn)處的切線必平行于直線，設(shè)切線方程為，因?yàn)?，所以，將其代入橢圓方程得整理得。由性質(zhì)知，題設(shè)中面積為的恰好是兩點(diǎn)在橢圓上另一點(diǎn)為中心的面積最大的三角形，可見這一條件是命題人精心設(shè)計(jì)的真可謂匠心獨(dú)運(yùn)。，所以的最大值為。同樣可得。（2）法1 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以有法2（用橢圓參數(shù)方程）設(shè)，則。所以，故的面積最大其值為。法1（用不等式性質(zhì)）因，兩式相加并利用重要不等式和絕對(duì)值三角不等式得， 常規(guī)解法是先對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為斜截式，與橢圓方程聯(lián)立組成
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