【正文】 連接圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦 .要能熟練地利用方程與根的系數關系來計算弦長 ， 常用的弦長公式 |AB|=⑨ =⑩ .當直線與圓錐曲線相交時 ， 涉及弦長問題 ， 常用 “ 韋達定理 ” 設而不求計算弦長 . 2 121 | |k x x??12211 | |yyk? ? ? (1)建立適當的直角坐標系 ， 設曲線上的任意一點 （ 動點 ） 坐標為 M(x,y). (2)寫出動點 M所滿足的 ③ . (3)將動點 M的坐標 ④ ,列出關于動點坐標的方程 f(x,y)=0. (4)化簡方程 f(x,y)＝ 0為最簡形式 . (5)證明 （ 或檢驗 ） 所求方程表示的曲線上的所有點是否都滿足已知條件 . 幾何條件的集合 代入幾何條件 注意：第 （ 2） 步可以省略 ， 如果化簡過程都是等價交換 ， 則第 （ 5） 可以省略；否則方程變形時 ， 可能擴大 （ 或縮小 ） x、 y的取值范圍 ， 必須檢查是否純粹或完備 （ 即去偽與補漏 ） . (1)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量 (如距離與角 )的等量關系 ， 或這些幾何條件簡單明了且易于表達 ， 我們只需把這種關系轉化為 x,y的等式就得到曲線的軌跡方程； (2)定義法：某動點的軌跡符合某一基本軌跡 (如直線 、 圓錐曲線 )的 ⑤ ,則可根據定義采用設方程求方程系數得到動點的軌跡方程； (3)代入法 (相關點法 )：當所求動點 M是隨著另一動點 P(稱之為相關點 )而運動 ，如果相關點 P滿足某一曲線方程 ， 這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標 ， 再把相關點代入曲線方程 ， 就把相關點所滿足的方程轉化為動點的軌跡方程； 定義 P為雙曲線 y2=1上一動點 ,O為坐標原點 ， M為線段 OP的中點 ， 則點 M的軌跡方程為 . 24xx24y2=1 (代入法 )設 M(x,y)， P(x1,y1)， 則 y12=1. ① x= x1=2x y= y1=2y 214x又 12x ,即 12y,代入①得 x24y2=1. . (1)若弦過焦點時 （ 焦點弦問題 ） ，焦點弦的弦長的計算一般不用弦長公式計算 ， 而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后 ， 利用焦半徑公式求解 . (2)若問題涉及弦的中點及直線斜率問題 （ 即中點弦問題 ） ， 可考慮 “ 點差法 ” （ 即把兩點坐標代入圓錐曲線方程 ，然后兩式作差 ） ， 同時常與根和系數的關系綜合應用 . P到兩定點 F1(3,0)， F2(3,0)的距離之和等于 6，則點 P的軌跡是 ( ) C F1F2 F1F2 課堂練習 + =1的焦點坐標是 ,若弦 CD過左焦點 F1,則 △ F2CD的周長是 . 216x 29y (177。 . 又 |MN|≤2|F1F2|,則 2 x, 由兩漸近線互相垂直得 8x. y2=4x上一點到其焦點 F的距離為 5,則點 P的坐標是 . (4,177。 x,數形結合可知 l與 C有兩個交點 ， 則直線 l夾在兩漸近線之間 ， 從而 k . 323232 C:y2=8x的準線與 x軸交于點 Q,若過點 Q的直線 l與拋物線 C有兩個公共點 ,則直線 l的傾斜角 α的取值范圍是 . (0, )∪ ( ,π) 4? 34? 由題意可得 Q(2,0), 則 l的方程可設為 y=k(x+2)，代入 y2=8x, 得 k2x2+4(k22)x+4k2= l與 C有兩個公共點 , k2≠0 Δ=16(k22)216k40, 解得 1k0或 0k1,即 1tanα0或 0tanα1, 故 απ或 0α . 因此 34?4? y=kx2與橢圓 x2+4y2=80相交于不同的兩點 P、 Q,若 PQ的中點的橫坐標為2,則弦長 |PQ|等于 . 6 5 y=kx2 x2+4y2=80 （ 1+4k2)x216kx64=0. 設 P(x1,y1),Q(x2,y2),則 x1+x2= =2 2, 得 k= ,從而 x1+x2=4,x1x2= =32, 因此 |PQ|= |x1x2|= =6 . 由于 ，消去整理得 21614kk?12 26414k?21 k? 221 2 1 21 ( ) 4k x x x x? ? ?5方法提煉方法提煉 . 直線與圓錐曲線的位置關系 ， 從幾何角度來看有三種：相離 、 相交和相切 .從代數角度一般通過他們的方程來研究： 設直線 l : A x + B y + C = 0 ， 二次曲線C:f(x,y)= Ax+By+C=0 f(x,y)=0,消去 y(或 x)得到一個關于 x(或 y)的方程 ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)， 然后利用方程根的個數判定 ，同時應注意如下四種情況： (