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圓錐曲線定值結論-全文預覽

2025-07-13 15:52 上一頁面

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【正文】 有． 當直線的傾斜角為直角時，顯然且，等式成立；當直線的傾斜角時，弦為橢圓長軸，顯然易得原等式也成立．綜上，在橢圓中等式恒成立．證畢．當圓錐曲線為雙曲線（如圖2）時，同樣可以證明等式成立；當曲線為拋物線（如圖3）時，離心率，等式簡化為（其中）．總之，在任意圓錐曲線中，對于其焦點弦所在直線的傾斜角，焦點分對應弦的比值（），總有等式成立，它將看似沒有必然聯(lián)系的三個量有機地結合在一起，顯得如此和諧、優(yōu)美，更加體現(xiàn)了數(shù)學的魅力．由于在解決具體的數(shù)學問題中，大多遇到的焦點弦的斜率是存在且不為0的，所以，根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關系，不難得出：推論1 已知焦點在軸上的圓錐曲線，經過其焦點的直線交曲線于、兩點，直線的斜率為（），則曲線的離心率滿足等式．當圓錐曲線的焦點在軸上時，同理還可得推論2 已知焦點在軸上的圓錐曲線，經過其焦點的直線交曲線于、兩點，若直線的傾斜角為，斜率為（），則曲線的離心率滿足等式，．（推論的證明從略，讀者可以自行完成．）二．結論的應用例1．（2008年全國Ⅱ卷）已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于，兩點設，則與的比值等于 ．解析：焦點弦所在直線的傾斜角為，則由定理可得，所以．例2．（2008年江西卷）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于、兩點（在軸左側），則 ．解析：根據(jù)拋物線的對稱性知，設，由推論2可得，所以．例3．（2009年全國Ⅰ卷）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于兩點，若，則的離心率為 （ ） A． B． C． D．解析：由推論1得，故選A．例4．（2010全國Ⅱ卷文理）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為
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