高三文科導數(shù)題型歸納-全文預覽
【正文】 ?????? 14分 （ 簡單切線問題） 已知函數(shù)23)( axxf ? 圖象上斜率為 3 的兩條切線間的距離為 5102 ，函數(shù)23( ) ( ) 3bxg x f x a? ? ?． （Ⅰ） 若函數(shù) )(xg 在 1?x 處有極值，求 )(xg 的解析式； （Ⅱ） 若函數(shù) )(xg 在區(qū)間 ]1,1[? 上為增函數(shù)，且 )(42 xgmbb ??? 在區(qū)間 ]1,1[? 上都成立，求實數(shù) m的取值范圍． 密碼 123456 。 解：由題知： 2f ( x ) 3ax 2b x + c 3a 2b? ?? （Ⅰ）由圖可知 函數(shù) f ( x )的圖像過點 ( 0 , 3 )，且 ??1f? = 0 得 33 2 c 3 2 0d a b a b??? ? ? ? ? ?? ? ?????03cd （Ⅱ）依題意 ??2f? = – 3 且 f ( 2 ) = 5 1 2 4 3 2 38 4 6 4 3 5a b a ba b a b? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 解得 a = 1 , b = – 6 所以 f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依題意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞ 0 ) ??xf? = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由 ??5f? = 0? b = – 9a ① 若方程 f ( x ) = 8a 有三個不同的根，當且僅當 滿足 f ( 5 )＜ 8a＜ f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜ 8a＜ 7a + 3?111＜ a＜ 3 所以 當111＜ a＜ 3 時，方程 f ( x ) = 8a 有三個不同的根。 2( ) 2 , ( ) 3 4 ( 3 4 )f x a x a x b f x a x a x a x x? ? ? ? ? ? ? ? 令 39。3 1.2mmf m mm?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ??， 解得 m＞ 3 例 已知函數(shù) 23213)( xxaxf ??， )0,( ?? aRa （ 1）求 )(xf 的單調(diào)區(qū)間；（ 2） 令 ()gx ＝ 14x4＋ f（ x）（ x∈ R）有且僅有 3 個極值點，求 a 的取值范圍． 解 ：（ 1） )1()( 239。(3 ) 27 6 0f a b c? ? ? ?③ 由 ①②③ 聯(lián)立得： 169abc??????????， ∴ 32( ) 6 9f x x x x? ? ? ? （ 2）設(shè)切點 Q (, ())t f t ， ,( ) ( )( )y f t f t x t? ? ? 2 3 2( 3 12 9) ( ) ( 6 9 )y t t x t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2( 3 12 9) ( 3 12 9) ( 6 9)t t x t t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22( 3 1 2 9 ) ( 2 6 )t t x t t t? ? ? ? ? ?過 ( 1, )m? 2 3 2( 3 12 9) ( 1 ) 2 6m t t t t? ? ? ? ? ? ? 32( ) 2 2 1 2 9 0g t t t t m? ? ? ? ? ? 令 2239。( ) 0fx? ；在 (1,3) 上 39。 高 1考 1資 1源 2網(wǎng) 解： （ 1） ∵ ()fx的圖像過原點，則 (0) 0 0fc??? 2( ) 3 2f x ax x? ? ? ?， 又∵ 1x?? 是 ()fx的極值點，則 ( 1 ) 3 1 2 0 1f a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( ) 3 2 ( 3 2) ( 1 ) 0f x x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? 3( ) ( 1) 2f x f? ? ?極 大 值 2 2 2( ) ( )37f x f? ? ?極 小 值 （ 2）設(shè) 函數(shù) ()gx 的圖像與函數(shù) ()fx的圖像恒存在含 1x?? 的三個不同交點 ， 等價于 ( ) ( )f x g x? 有含 1x?? 的三個根 ，即： 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2f g d b? ? ? ? ? ? ? 3 2 21 1 12 ( 1 )2 2 2x x x b x x b? ? ? ? ? ? ?整理得： 即： 3211( 1 ) ( 1 ) 022x b x x b? ? ? ? ? ?恒有含 1x?? 的 三個 不等實根 （ 計算 難點 來了 ：） 3211( ) ( 1 ) ( 1 ) 022h x x b x x b? ? ? ? ? ? ?有含 1x?? 的根， 則 ()hx 必可分解為 ( 1)( ) 0x ??二 次 式 ，故用 添項配湊法因式分解， 3x 22xx?? 211( 1 ) ( 1 ) 022b x x b? ? ? ? ? ? 2211( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022x x b x x b??? ? ? ? ? ? ????? 221( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 02x x b x x b??? ? ? ? ? ? ? 十字相乘法分解： ? ?? ?2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 02x x b x b x? ? ? ? ? ? ? 2 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022x x b x b??? ? ? ? ? ????? 3211( 1 ) ( 1 ) 022x b x x b? ? ? ? ? ? ?恒有含 1x?? 的三個不等實根 等價于 2 11( 1 ) ( 1 ) 022x b x b? ? ? ? ?有兩個不等于 1的不等實根。 子集思想 （ I） 2( ) ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) .f x x a x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 , ( ) ( 1 ) 0 ,a f x x?? ? ? ?當 時 恒 成 立 當且僅當 1x?? 時取“ =”號， ( ) ( , )fx ?? ??在 單調(diào)遞增。 22( ) 4 3 [ 1 , 2]g x x ax a a a? ? ? ? ?在上是 增 函數(shù) . （ 9 分） m a xm in( ) ( 2 ) 2 1 .( ) ( 1 ) 4 4 .g x g a ag x g a a? ? ? ? ?? ? ? ? ? ∴于是，對任意 ]2,1[ ??? aax ，不等式①恒成立，等價于 ( 2 ) 4 4 , 4 1.( 1 ) 2 1 5g a a a ag a a a? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? 解 得 又 ,10 ??a ∴ .1
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