[理學]ch 7 特征值與特征向量-全文預覽
【正文】 設 都 是 階 矩 陣 若 有 可 逆 矩 陣 使 則 稱 是 的 相 似 矩 陣 或 說 矩 與 相 似陣,.PA若 矩 陣 是 正 交 陣 則 ， B 正 交 相 似稱1 ,A P A P A?對 進 行 運 算 稱 對 進 行 相 似 變 換為, , .A B B C A C若 與 相 似 與 相 似 則 與 相 似反身性)1( )2( 對稱性傳遞性)3(? ? ? ?? ?..2 2111211 PAPPAPPAAP ??? ?? ? 113 . , .mmA B A B m A B??若 與 相 似 則 與 相 似 為 正 , 數(shù) 與負 整 相 似1 .A P A P A?對 進 行 運 算 稱 為 正 交 相進 行 似 變 換對性質(zhì) 1. 33,.A B A B5. 若 與 相 似 則 +2A+3E 與 +2B+3E 相 似? ? PAPkPAPkPAkAkP ??? ???1 ,.A P B A B?注 ： 若 P= 則 與 相 似( ) , ( ) ( ) .f x f A f B是 任 一 多 項 式 則 與 相 似1101 1101 1 )(nn nn nn nna B a Ea aa A a Eaa A PAP BB?? ?? ? ?? ? ? ? ????證明 相似與 BA? ? PEPAPPEB ?? 11 ?? ???? ? ? PEAP ??? ? 1PEAP ??? ? 1 .EA ???BAPPP ??? ? 1, 使得可逆陣1 , , .A B A B定 理 若 與 相 似 則 與 的 特 征 多 項 式 相 同 特 征 值 亦 相 同推論 若 階方陣 A與對角陣 n12di a g ( , , , )n? ? ???., 21 個特征值的即是則相似 nAn??? ?推論 相似方陣有相同的行列式和跡 P118 1,2 1 ,k kA PP ?? ?故,21???????????????????knkkk? 相似變換 的重要意義在于 簡化對矩陣的各種運算 ，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從而將比較復雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對角矩陣的運算． 利用對角矩陣計算矩陣多項式 11 110 1 11 nnnna a a aP P P PBEBBP P P P?? ???? ? ? ? ??101) 1(nn nnA a A a EaaAA? ? ? ?? ?? ?1110( 1 )nn nnP a B a EaaBB P? ?? ? ? ???, PB ??特 別 地 若 可 逆 矩 陣 使 為 對 角 矩 陣.)()(1PPA ??? ??.)(,)( OAfAf ?則的特征多項式是矩陣設 ?定理 證明 .與對角矩陣相似的情形只證明 A使則有可逆矩陣與對角矩陣相似若 , PA),( 11 ?? ndi agAPP ?????.0)(, ??? ii fA 的特征值為其中 有由 ,1PPA ???)(Af.1 OPPO ?? ?PPf 1)( ???PffPn11)()(???????????????1, , ,.n A P P A PA? ??對 階 方 陣 若 可 找 到 可 逆 矩 陣 使 為 對 角 陣這 就 稱 為 把 方 陣 對 角 化證明 , 1 為對角陣使假設存在可逆陣 ??? APPP? ? ., 21 npppPP ??用其列向量表示為把三、相似變換將方陣對角化 .)( 2個線性無關(guān)的特征向量有的充分必要條件是能對角化即與對角矩陣相似階矩陣定理nAAAn? ? ? ?1 2 1 1 2, , , , , ,nnA p A p A p p p p? ? ??即? ? .,2,1 nipAp iii ??? ?于是有1 ,PAP APP ? ????由 得., 21 線性無關(guān)所以可逆又由于 npppP ?推論 如果 n階矩陣 A的 n個特征值互不相等，則 A與對角陣相似． 說明 如果 A的特征方程有重根，此時不一定有 n個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 A不一定能對角化 . 但如果能找到 n個線性無關(guān)的特征向量， A還是能對角化． .)( 2個線性無關(guān)的特征向量有的充分必要條件是能對角化即與對角矩陣相似階矩陣定理nAAAn定理 互異特征值對應的各自線性無關(guān)的特征向量并 在一塊，所得的向量組仍然 線性無關(guān)。 2A 2A則 為 的特征值． 推論５ m? mA 為 的特征值． 例 232???? 232E A A??若數(shù) λ 為可逆陣的 Ａ 的特征值， 則 為 的特征值． 推論 1?? 1A? 為 的特征值． ||A? *A 則 0為 A的特征值。n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?定義 方陣 Ａ 的主對角線上的元素之和稱為方陣 Ａ 的 跡 . 記為 ? ? iit r A a? ?4 1 10 0 0 4 0 1 34 1 1tr?????? ? ? ? ? ??????例如 1 2 1 1 2 2( 2 ) 。nA E A? ? ? ???特 征 方 程 的 全 部 根 就 是 的 全 部 特 征 值? ?3 . , 0 , .iiiA E x?????對 于 特 征 值 求 齊 次 方 程 組 的 非 零 解就 是 對 應 于 的 特 征 向 量小結(jié) 1 2 1 1 2 2( 2
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