[理學(xué)]ch 7 特征值與特征向量(文件)
【正文】 ?????????A求 A的特征值與特征向量． 解 ???????????314020112EA? ? ,2)1( 2???? ??.2,1 321 ???? ???的特征值為得 A? ?1 , A E x? ? ?? ?當(dāng) 時 解 方 程 由,000010101414030111~?????????? ??????????????? EA ,1011???????????p得基礎(chǔ)解系的全體特征向量為故對應(yīng)于 11 ??? ).0( 1 ?kpk? ?23 , 2 A E x?? ? ?? ?當(dāng) 時 解 方 程 由,0000001141140001142 ~?????????? ??????????????? EA得基礎(chǔ)解系為： ,401,11032??????????????????????? pp :232 的全部特征向量為所以對應(yīng)于 ?? ??).0,( 323322 不同時為kk pkpk ?注 2 并不一定唯一； ,??3 ｎ階方陣 Ａ 的 特征方程 ，是 以 1 特征向量 ，特征值問題只針對與方陣； 0? ?0EA? ??性質(zhì) 71 ｎ階方陣 有且只有 n個特征值（ k重特征值算 k個） λ為未知數(shù)的一元ｎ次方程 屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量 . ? ?1 2 1 2 , ,xA ? ? ? ??設(shè) 同 時 是 的 屬 于 特 征 值 的 的 特 征 向 量xAxxAx 21 , ?? ??xx 21 ?? ?? ? ? ,021 ??? x??,021 ?? ??由于 ,0?x則 .與定義矛盾4 一個特征值具有的特征向量不唯一； 一個特征向量不能屬于不同的特征值． 求矩陣特征值與特征向量的步驟： ? ?。n A? ? ? ?性質(zhì) 7－ 2 設(shè)ｎ階方陣 的特征值為 ? ?ijAa? 12, , , n? ? ?則 證明① 當(dāng) 是 Ａ 的特征值時， Ａ 的特征多項 12, , , n? ? ?式可分解為 ? ?f EA? ?? ?? ? ? ? ? ?12 n? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 21 11 1nn n n n? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??令 0,? ? 得 A? ? ? 121 n n? ? ???即 12 .n A? ? ? ?方陣 A可逆 A的特征值都不為零。 例： 方陣 A的每行元素的和為 3, 則 3為特征值。 則同線 性 無 關(guān)不證明 使設(shè)有常數(shù) mxxx , 21 ?1 1 2 2 0mmx p x p x p? ? ? ?用 A作用得即 1 1 2 212 0m mmx p x p x p? ? ?? ? ? ?二、特征值和特征向量的性質(zhì) 11 1 11 2212 m mmx p x p x p? ? ?? ? ?? ? ? ?即 ? ?1111221 1 2 21, , ,111mmmmmmmx p x p x p?????????????????? ?0,0,0 ??? ? ? ?1 1 2 2 0 , 0 , , 0 , , , mmx p x p x p ?,0?jp但 ? ?.,2,10 mjx j ???故., 21 線性無關(guān)所以向量組 mppp ?四、特征向量的性質(zhì) 定理 71P112 互異特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。這是充要條件。 英國數(shù)學(xué)家 （ 18211895) 一般被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，因為他首先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學(xué)概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)于這個題目的一系列文章。另外，凱萊還給出了方陣的 特征方程和特征根（特征值） 以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。 矩陣的跡 的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。 1855 年，埃米特 (,18221901) 證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。 1858 年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文《 矩陣論的研究報告 》 ，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。 2. 1. 。 定理 74P116 方陣 Ａ 的 特征值 為 k重特征值，則其 i?對應(yīng)的線性無 關(guān)的特征 向量 的個數(shù)至多為 k個 ． 1 2 22 2 42 4 2A?????? ? ??????EA ??由)1( ? ? ? ?72 2 ???? ??.7,2 321 ???? ???得.110,10221?????????????????????? ??? ?1 2 12 0 ,AE? ? ?? ? ? ?將 代 入 得3 7,? ??對 得? ?2,2,13 T??., 321 線性無關(guān)所以 ???第二節(jié)、相似矩陣 11 , , , ,.A B n P P A P BB A A B? ?定 義
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