求矩陣特征值的數(shù)值方法和習(xí)題(文件)
【正文】 )(，求證 ： （ 1 ）由于i?是矩陣 A 的特征值，所以 )) .. .()(( 21 nAI ??????? ?????， 比較兩邊 1?n? 的系數(shù)得到???niiATr1)( ?。 （ 2 ） ?? ? 是 IA ?? 的關(guān)于特征向量 x 的一個(gè)特征值 。 （ 2 ）?? ?是IA ??的關(guān)于特征向量x的一個(gè)特征值。 25 例 2 ． 用反冪法求例 1 中矩陣的按模最小特征值 ． 解：取初始向量( 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) Tz ?，由迭代格式 112?? ?????? ??( ) ( )()( ) ( )m a x ( ) , , ,/kkkkkkkAy zm y kz y m， 26 迭代計(jì)算得 k 0 1 2 3 4 5 ky 1 3 mk 1 1 1 1 1 1 1 36 kz 1 27 所以，特征值31 0 4 0 2 82 4 8 2 5 ..? ??， 相應(yīng)特征向量 ? ?1 0 7 0 8 0 2 0 5 9? ? ?, . , . Tx 。 解：取初始向量0 111? ( , , )Tz，由 11 2 3???????? ??m ax ( ) , , , ... .../kkkkk k ky Azm y kz y m， 迭代計(jì)算得 k 0 1 2 3 4 5 12 27 ky 56 m k 56 1 1 kz 1 1 1 1 1 1 特征值為 1 ??，對應(yīng)特征向量為 0 185 9 0 446 0 1 000 0( . , . , . ) T。 設(shè) n 階矩陣 A=)( ija有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量12, , ..., nx x x，對 應(yīng) 的 特 征 值 分 別 是n??? , .. . , 21， 按 模 排 列 為n??? ??? . ..21，稱1?為矩陣 A 的 主特征值 。 （ 3 ）若 A 為正交矩陣，則 TA 也是正交矩陣。 （ 3 ） A 的各階順序主子式均大于零。1 第七章 求矩陣特征值的數(shù)值方法 2 定義 1 設(shè) ,)(nnijaA ??如果 AA T ? ，則稱 A 為 對稱矩陣 。 （ 2 ） A 的所有特征值都是正數(shù)。 （ 2 ）若 A 為正交矩陣，則 TAA ?? 1 。 5 定理 3 ． ? 為方陣 A 的特征值 ， 則 ? 是方程 0IA? ?? 的根 ． 注．顯然，若 ? 為方陣 A 的特征值，則存在向量 0?x ，使得：?A x x? ，即齊次線性方程組 ? ? 0??I A x? 有非零解．所以系數(shù)行列式0IA? ??．同時(shí)可知，屬于 ? 的特征向量是? ? 0??I A x?的非零解． 6 定理 4 ． ? 為方陣 A 的特征值 ， ? ?Pt 是一個(gè)多項(xiàng)式，則 ? ?P ? 是 證明：設(shè) ? ?11 1 0......mmmmP t a t a t a t a??? ? ? ? ?， x 是屬于 ? 的 特征向量．則： ? ? 11 1 0......mmmmP A a A a A a A a I??? ? ? ? ?， ? ? 11 1 0??? ? ? ? ?......mmmmP A x a A x a A x a Ax a x 11 1 0??? ? ? ? ?......mmmma x a x a x a x? ? ?? ?Px ?? 即， ? ?P ? 是 ? ?PA 的一個(gè)特征值 ? ?PA 的一個(gè)特征值 ． 7 定理
畢業(yè)設(shè)計(jì)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1