總結(jié)求逆矩陣方法(文件)
【正文】 又由（ 2）式得 mB = 1?mA 1?mA m? m? ， （ 9） 將（ 9）式代入（ 4）式得 m? =mmmmm Aa A ??? 11???? =mc1 m? ， （ 10） 將（ 10）式代入（ 9）式得 mB = 1?mA +mc1 （ 1?mA m? ） m? = 1?mA +mc1 m? m? ， （ 11） 綜合（ 7）（ 8）（ 10）（ 11）即可得到 11??mA = ?????? ? 00 01mA +mc1 ?????? 1mmmm? ??? = ?????? ? 00 01mA +mc1 ??????1m? ? ?1m? .定理證畢。 例 設(shè) n 階方陣 A 滿足 2A +2A 3E =0，說明 A +n E 是否可逆。 例 已知： A ＝ ??????4321 AA AA ，其中 1A 、 4A 分別為 r 、 s 階可逆方陣，求 1?A . 解：設(shè) 1?A ＝ ?????? 42 21 ZZZZ ，其中 iZ 與 iA （ i ＝１，２，３，４）為同形陣。 （４） 1321 0 ???????A AA ＝ ?????? ? ??? ? 131121`2130AAAA A（ 2A ， 3A 可逆）。 歐幾里得算法 令 g (x)= nx 1則 g (? )=0，即 g (x)是 ? 的最小零化多項式， ? 同前， R 為全體實數(shù)集，設(shè) R [x ]是 R 上的一元多項式環(huán)， B 為 R 上全體循環(huán)矩陣構(gòu)成的集合，則 B 關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成交換環(huán)，定義 ? ： R [x ]→ B ， f (x )→ f (? )，f (x )? R [x ]，易證 ? 是 R [x ]到 B 的滿環(huán)同態(tài)，由同態(tài)基本定理可得 ? ? BxR ??ker ，即 ? ?? ? Bx xRn ??1. 定理 循環(huán)矩陣 A =A（ 0a ， 1a ， 2a ， ...， 1?na ）可逆，當且僅當（ f (x )，nx 1） =1， 即存在 u (x )， v (x )? R [x ]使得 f (x )u (x )+v (x )（ nx 1） =1，其中 14 / 17 f(x)= 0a +1a x+ 2a 2x +....+ 1?na 1?nx =1. 利用定理可構(gòu)造如下求逆的方法：求出 f (x )與 nx 1 的最大公因式 d (x )及 u(x )、 v (x )? R [x ],使得： f (x )+v (x )（ nx 1） =d(x ) （ 1） . 若 d (x )不是非零常數(shù)，則 A （ 0a ， 1a ， 2a ， ....， 1?na ）不可逆； d (x )若是非零常數(shù) p ，則 A （ 0a ， 1a ， 2a ， ....， 1?na ）可逆此時將 ? 代入（ 1）式得 f (? )u (? )=p ，從而 1?A =p1 u (? ). 例 判斷下列矩陣 A =????????????????2444442444442444442444442是否可逆？若可逆，求其逆。 一類階數(shù)較高矩陣的逆矩陣的求法 對于二階矩陣 ?????? dc ba（ 1）當 bcad? 時，則可逆，且其逆為 ??????? ?? ac bdbcad 1，利用這一簡單結(jié)論可得出形如（ 2）111111abcd一類方陣的逆矩陣，其中（ 2）中未標的元素主對角線上全為 1，其它元全為 0. 定理 矩陣（ 2）可逆，且矩陣（ 1）的逆為 ?????? hg fe，則矩陣（ 2）的逆為 1111efgh????????????. 證明：設(shè)矩陣（ 2）為 A ，對 A 施行一系列交換兩行和兩列的初等變換，則 A 化成 16 / 17 1111ebgd????????????，這相當于存在 ijP 型的初等矩陣，使得 （ 3） sP ?? 2P 1P A 1P 2P ?? sP = 1A 成立，由于 A 可逆，則 1A 可逆，易知 11?A =1111efgh??????????，對 (3) 式 兩 邊 求 逆 得? ? ? ? 1121121 ??? ?????? PPPAPPP ss = 1?A =1111efgh????????????，對等式兩邊左乘 1P 2P ?? sP ，右乘 sP ?? 2P 1P 得 17 / 17 （ 4） 1P 2P ?? sP1111ebgd????????????，由（ 4）式知， 1?A 是通過 11?A施行行交換兩行和兩列初等變換得到的，而對 11?A 施行的初等變換，正是（ 3）式中對 A 施行的初等變換，只是初等變換的先后次序恰恰相反，則有 1?A =1111efgh????????????. 例 判定矩陣 A =????????????????????100000010040001000000100020200000001是否可逆？若可逆求其逆。 用三角算法（此算法可得循環(huán)矩陣求逆矩陣的公式） 由 循 環(huán) 矩 陣 性 質(zhì) （ 6 ） 我 們 得 知 存 在 ? ，使得 1?? A ? =? ?? ?? ?011nfff??? ???????.因為 det? 為─ Vandermonde 行列式，當 k ? 1 時有 k? ? 1? ，故 det? ? 0，因此 ? 可逆，從而 A 可逆。 例 求 A =A （ 1， 2， 3）的逆矩陣。 （２） 14210 ??????? AAA ＝ ?????? ? ? ??? 1414211110 A AAAA（ 1A ， 4A 可逆） 。 解：由 2A +2A 3E =（ A +n E ）（ A （ n 2） E ）－（ 2n 2n 3） E ＝ 0得， (A +n E ）（ A （ n 2） E ）＝－（ 2n 2n 3） E ＝－（ n － 3）（ n ＋１） E . ｉ）當 n ? 3且 n ? － 1 時， A +n E 可逆， 且 ? ?1??nEA ＝－)1)(3( 1 ?? nn（ A （ n 2） E ）； 12 / 17 ｉｉ ）當 n ＝ 3 時，有（ A ＋ 3E ）（ A － E ）＝ 0，若 A ＝ E ，則 A ＋ 3E ＝ 4E ， ? ?13 ?? EA＝ 41 E ，若 A ? E ，（ A ＋ 3E ） X ＝ 0 有非零解，得 EA 3? ＝ 0，故 A ? 3E 不可逆； ｉｉｉ ）當 n ? － 1 時，有（ A ＋ 3E ）（ A － E ）＝ 0，若 A ＝－ 3E ，則 A － E ＝－4E ， ? ?1??EA ＝－ 41 E ，若 A ? － 3E ，則 A ＋ 3E ? 0，（ A － E ） X ＝ 0有非零解，得 EA? ＝ 0，故 A － E 不可逆。 例 求矩陣 A 的逆矩陣，其中 A =?????????????165283141 . 解： 11?
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