總結(jié)求逆矩陣方法-wenkub
2022-11-02 08:16:00 本頁面
【正文】 27 特別的，當 X 是 n ?l,Y 是 1? n ，且 C =（ 1）時，公式（ 1）就變成了 1?A = 1?B XYB11 1??1?B X 1?B ，此公式為 ShermanMorrvson 公式。對這三個矩陣施以變換，當對 A 做一次行變換，便對左邊的矩陣 E 做同樣的行變換；每對 A 做一次列變換，便對右邊的矩陣 E 作同樣的列變換。 (1)初等行變換 如果 n 階矩陣 A 可逆，作一個 n ?2n 的矩陣（ A ， E ），然后對此矩陣施以初等行變換，使矩陣 A 化為單位矩陣 E ，則同時即化為 1?A 了。由定義得 A +4E 可逆，且 B ? ?14 ?? EA =B = EA 5251 ?? . 用伴隨矩陣去求逆矩陣 定理 n 階矩陣 A =（ ija ）為可逆的充要條件是 A 非奇異。 1 / 17 逆矩陣的求法 一般矩陣的逆矩陣的求法 用定義去求逆矩陣 定義 設(shè) A 是一個 n 階矩陣，如果存在 n 階矩陣 B ，使 A B =B A =E ，則稱A 為可逆矩陣，并稱 B 是 A 的可逆矩陣。且 1?A =A111 21 112 22 212nnn n nnA A AA A AA A A????????，其中 ijA 是 A 中元素 ija 的代數(shù)余子式。即（ A ， E ） ?（ E ， 1?A ） . 例 用初等行變換求矩陣 A =??????????521310132 的逆矩陣。最后可得： P ，E ， Q ,所以 1?A =Q P . 用分塊矩陣去求逆矩陣 設(shè) A 、 B 分別為 p 、 q 階可逆矩陣，則 10??????? BCA ＝ ?????? ????1110 B CBAA， 10 ??????? BDA ＝ ???????????1111 0BDABA， 10 0??????? BA ＝ ????????110 0BA， 100???????B A ＝ ????????0011A B. 4 / 17 例 求矩陣 S ＝??????????????3111522100110012的逆矩陣。 例 A =????????????512010211 ，求1?A . 解：設(shè) B ＝??????????300010001 ， X ＝??????????101 ， Y ＝ ? ?212? ，則 A ＝ B ＋ B Y ， 1?B ＝????????????3100010001， Y 1?B X ＝ ? ?212?????????????3100010001??????????101 ＝34? 1?B X Y 1?B =????????????3100010001??????????101 ? ?212?????????????3100010001=????????????????9231320003202, ∴ 1?A =????????????31000100013411? ????????????????9231320003202=????????????112010235 . 利用 ShermanMorrvson 公式可很快的求出類型，如： A =??????????baaabaaab......... 的矩陣的逆。 引理 任何一個 m +1 階可逆方陣都可以只通過行列互換初等變換化為左上角為 m 階可逆塊的方塊方陣形式，即對任意 m +1 階可逆方陣 1?mA ，存在互換初等矩陣 7 / 17 iP （ 1?iP =iP ）（ i =1,2,… ,n ）使得 1P 2P … jP 1?mA 1?jP … nP = ??????mmmm bB? ? ，其中， mB為 m 階可逆方陣， m? 為 m 1 階矩陣， m? 為 1 m 階矩陣， mb = 11 ??mmb ，于是 11??mA = jP … 2P 1P 1???????mmmm bB? ? nP … 1?jP . 證明：由 1?mA 可逆知，至少有一個 m 階子式不為零，于是可以只通過行列的互換變換將 此子式對應(yīng)的矩陣換到左上角，得到新矩陣 ??????mmmm bB? ? 形式，即存在互換初等矩陣 iP（ 1?iP =iP ）（ i =1,2,… ,n ）使得 1P 2P … jP 1?mA 1?jP … nP = ??????mmmm bB? ? ，其中， mB 、m? 、 m? 、 mb 如條件所設(shè)，于是根據(jù)互換初等矩陣性質(zhì) 1?iP =iP 即可得到定理后半部分結(jié)論。 8 / 17 定理 1?mA ， mA ， m? ， m? ， ma ， mc 如引理及推論所述，又令 m? = 1?mA m? ， m? = m? 1?mA ，則 11??mA = ?????? ? 00 01mA +mc1 ?????? 1mmmm? ??? = ?????? ? 00 01mA +mc1 ??????1m? ? ?1m? ， 其中， 1?mA = ??????111a . 證明：顯然 1?mA = ??????111a ，設(shè) 1?mA 的逆矩陣 11??mA = ??????mmmm bB? ? ，其中 mB 為 m 階方陣 m?為 m 1階矩陣 , m? 為 1 m 矩陣， mb = 11 ??mmb ，根據(jù) 1?mA 11??mA = ??????mmmm aA? ? ??????mmmm bB? ? = ?????? 10 0mE ，其中 mE 是 m 階單位矩陣，再 由分塊矩陣乘法和矩陣相等得到矩陣方程組 ? ?? ?? ?? ????????????????4,13,02,01,mmmmmmmmmmmmmmmmmbaaBbAEBA???????? 根據(jù) mA 可逆，由（ 3）式得 m? =mb 1?mA m? ， （ 6） 將（ 6）式代入（ 5）式得 mb =mmmm Aa ?? 11 ?? =mc1 ， （ 7） 將（ 7）式代入（ 6）式得mmm cA ?? 1??? =mc1 m? ， （ 8）
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