【正文】 xn+1,u）（ u,N +），其中為正實(shí)數(shù) . （ Ⅰ ）用 xx 表示 xn+1； （ Ⅱ ）若 a1=4，記 an=lg 22nnxx??，證明數(shù)列｛ a1｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛ xn｝的通項(xiàng)公式； （ Ⅲ ）若 x1＝ 4， bn＝ xn－ 2， Tn 是數(shù)列｛ bn｝的前 n 項(xiàng)和，證明 Tn3. 解析：本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí)，以及推理論證、計(jì)算及解決問題的能力． 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 （Ⅰ）由題可得 39。78 令 An＝nn3348 證法二：同證法一求得 bn 及 Tn。23)(3??????? ?? n nxf ?,則 233)23)(53( )33(23n 33n 令23n 213 3 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 又由 an+1＝ Sn+1 Sn＝ )2)(1(61)2)(1(61 11 ????? ?? nnnn aaaa， 得 an+1 an3＝ 0 或 an+1＝ an 因 an＞ 0，故 an+1＝ an 不成立，舍去。 8 北京理 10 若數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 2 10 ( 1 2 3 )nS n n n? ? ? ， ， ，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ；數(shù)列 ? ?nna 中數(shù)值最小的項(xiàng)是第 項(xiàng)． 2 11n? 3 北京文 10 若數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 2 10 ( 1 2 3 )nS n n n? ? ? ， ， ，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ． 2 11n? 重慶理 21 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 { na }的前 n 項(xiàng)和滿足 1?nS ，且 *),2)(1(6 NnaaS nnn ???? （ 1）求 { na }的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè)數(shù)列 { nb }滿足 1)12( ??nbna ，并記 nT 為 { nb }的前 n 項(xiàng)和，求證： *2 ),3(lo g13 NnaT nn ???? （Ⅰ）解：由 )2)(1(61 1111 ???? aaSa，解得 a1＝ 1 或 a1＝ 2，由假設(shè) a1＝ S1＞ 1，因此a1＝ 2。 （Ⅱ）證法一：由 1)12( ??bna 可解得 13 3l o g11l o g ?????????? ?? n nab znzz； 從而 ?????? ?????? 13 3 因此23n 223l o g)3(l o g133??????? ????? n naT znzn ?。56從而 0)(l o g)3l o g (13 ＞nfaT nn ???? ， 即 )3(log13 2 ?? nn aT ＞ 。 證法三：同證法一求得 bn 及 Tn。23 ?， Bn＝nn3 13 從而 3232 2l o g13 3 浙江理 21 已知數(shù)列 ??na 中的相鄰兩項(xiàng) 2 1 2kkaa?， 是關(guān)于 x 的方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ?的兩個(gè)根，且 2 1 2 ( 1 2 3 )kka a k? ?≤ ， ， ，． （ I）求 1a ， 2a ， 3a ， 7a ； （ II）求數(shù)列 ??na 的前 2n 項(xiàng)和 2nS ； （ Ⅲ ）記 sin1( ) 32 sin nfn n????????， ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 1 )1 2 3 4 5 6 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )f f f f nnnnT a a a a a a a a??? ? ? ?? ? ? ? ?…， 求證： 15()6 2 4nTn? *N≤ ≤． 本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力．滿分 15 分． （ I）解：方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ?的兩個(gè)根為 1 3xk? ， 2 2kx ? ， 當(dāng) 1k? 時(shí)， 1232xx??， ， 所以 1 2a? ； 當(dāng) 2k? 時(shí)， 1 6x? ， 2 4x? ， 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 所以 3 4a? ； 當(dāng) 3k? 時(shí)， 1 9x? ， 2 8x? ， 所以 5 8a? 時(shí)； 當(dāng) 4k? 時(shí)， 1 12x? ， 2 16x ? ， 所以 7 12a? ． （ II）解： 2 1 2 2nnS a a a? ? ? ? 2( 3 6 3 ) ( 2 2 2 )nn? ? ? ? ? ? ? ? 2 133 222 nnn ??? ? ?． （ III）證明： ( 1 )1 2 3 4 5 6 2 1 21 1 1 ( 1 ) fnnnnT a a a a a a a a???? ? ? ? ?， 所以1 12116T aa??， 2 1 2 3 41 1 524T a a a a? ? ?． 當(dāng) 3n≥ 時(shí)， ( 1 )3 4 5 6 2 1 21 1 1 ( 1 )6 fnnnnT a a a a a a???? ? ? ? ?， 3 4 5 6 2 1 21 1 1 16nna a a a a a???? ? ? ?????≥ 231 1 1 1 16 6 2 6 2 2 n??? ? ? ?????≥ 1 1 16 6 2 6n? ? ? ， 同時(shí)， ( 1 )5 6 7 8 2 1 25 1 1 ( 1 )24 fnnnnT a a a a a a???? ? ? ? ? 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 5 6 1 2 2 1 25 1 1 124nna a a a a a???? ? ? ?????≤ 315 1 1 1 12 4 9 2 9 2 2 n??? ? ? ?????≤ 5 1 524 9 2 24n? ? ? ． 綜上，當(dāng) n?N* 時(shí)， 156 24nT≤ ≤． 浙江文 19 已知數(shù)列 { na }中的相鄰兩項(xiàng) 21ka? 、 2ka 是關(guān)于 x 的方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ? ? 的兩個(gè)根，且 21ka? ≤ 2ka (k ＝ 1， 2， 3，? )． (I)求 1 3 5 7, , ,a a a a 及 2na (n≥ 4)(不必證明 )； (Ⅱ )求數(shù)列 { na }的前 2n 項(xiàng)和 S2n． 本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力．滿分 14 分． (I)解：方程 2 ( 3 2 ) 3 2 0kkx k x k? ? ? ? ?的兩個(gè)根為 123 , 2kx k x??． 當(dāng) k＝ 1 時(shí)， 123, 2xx??，所以 1 2a? ； 當(dāng) k＝ 2 時(shí)， 126, 4xx??，所以 3 4a? ； 當(dāng) k＝ 3 時(shí)， 129, 8xx??，所以 5 8a? ； 當(dāng) k＝ 4 時(shí)， 1212, 16xx??，所以 7 12a? ； 因?yàn)?n≥ 4 時(shí)， 23n n? ，所以 2 2 ( 4)nnan?? （Ⅱ） 22 1 2 2 ( 3 6 3 ) ( 2 2 2 )nnnS a a a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?＝ 2 133 222 nnn ?? ??． 天津理 21 在數(shù)列 ??na 中， 1112 ( 2 ) 2 ( )nnnna a a n? ? ????? ? ? ? ? ? N， ，其中 0?? ． （ Ⅰ ）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 （ Ⅱ ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS ； （ Ⅲ ）證明存在 k ??N ，使得 11nkaa??≤ 對(duì)任意 n ??N 均成立． 本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查歸納、推理、運(yùn)算及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．滿分 14 分． （ Ⅰ ）解法一： 2 2 22 2 ( 2 ) 2 2a ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 2 2 3 2 3 33 ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2a ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， 3 3 4 3 4 44 ( 2 2 ) ( 2 ) 2 3 2a ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?． 由此可猜想出數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 ( 1) 2nnnan ?? ? ?． 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明． （ 1）當(dāng) 1n? 時(shí)， 1 2a? ，等式成立． （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)等式成立，即 ( 1) 2kkkak ?? ? ?， 那么 111 ( 2 ) 2kkkaa? ? ??? ? ? ? ? 11( 1 ) 2 2 2k k k k kk? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 11[( 1) 1] 2kkk ? ??? ? ? ?． 這就是說，當(dāng) 1nk??時(shí)等式也成立．根據(jù)（ 1）和（ 2）可知，等式 ( 1) 2nnnan ?? ? ?對(duì)任何 n ??N 都成立． 解法二：由 11 ( 2 ) 2 ( )nnnna a n? ? ???? ? ? ? ? ? N， 0?? ， 可得 111 22 1nnnnaa? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 所以 2 nnna?????????????????為等差數(shù)列，其公差為 1，首項(xiàng)為 0，故 2 1nnna n????? ? ????? ，所以數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 ( 1) 2nnnan ?? ? ?． （ Ⅱ ）解：設(shè) 2 3 4 12 3 ( 2) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?， ① 歡迎光臨 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 系列資料 版權(quán)所有 《 中 學(xué) 數(shù) 學(xué) 信息網(wǎng)》 3 4 5 12 3 ( 2) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ② 當(dāng) 1?? 時(shí)， ① 式減去 ② 式， 得 212 3 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 nn n nnT n n??? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 2 1 1 2 1 222( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1 ( 1 )n n n nn n n nT ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?． 這時(shí)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 2 1 2 12( 1 ) 22(1 )nn nn nnS ? ? ???? ?? ? ?? ? ??． 當(dāng) 1?? 時(shí)， ( 1)2n nnT ??．這時(shí)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 1( 1) 222 nn nnS ??? ? ?． （ Ⅲ ）證明：通過分析，推測(cè)數(shù)列 1nnaa???????的第一項(xiàng) 21aa 最大，下面證明： 21 214 ,22nna a naa ?? ??? ≥． ③ 由 0?? 知 0na? ，要使 ③ 式成立，只要 212 ( 4) ( 2)nna a n?? ?? ≥， 因?yàn)?2 2 2( 4) ( 4) ( 1 ) ( 1 ) 2nnnan? ? ? ?? ? ? ? ? ? 124 ( 1 ) 4 2 4( 1 ) 2n n n nnn? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? （ 1）已知數(shù)列 ??nb 是項(xiàng) 數(shù)為 7 的對(duì)稱數(shù)列，且 1 2 3 4, , ,b b b b 成等差數(shù)列， 142, 11bb??，試寫出 ??nb 的每一項(xiàng) （ 2）已知 ??nc 是項(xiàng)數(shù)為 ? ?2 1 1kk??的對(duì)稱數(shù)列，且 1 2 1, ...k k kc c c??構(gòu)成首項(xiàng)為 50，公差為 4? 的等差數(shù)列，數(shù)列 ??nc 的前 21k? 項(xiàng)和為 21kS? ，