[高考數(shù)學(xué)]抽象函數(shù)問題的求解策略-全文預(yù)覽
【正文】 進(jìn)行遞推，若能得出 （ T 為非零常數(shù)）則 為周期函數(shù)，且周期為 T。 解： 對 恒成立 對 恒成立 對 恒成立， 三 . 解不等式 這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號 “ ”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。 解： 是偶函數(shù)，且在（ 0， 1）上是增函數(shù)， 在 上是減函數(shù)， 由 得 。 例 1 定義在 R 上的函數(shù) 滿足： 且 ，求 的值。 例 5 已知定義在 [2， 2]上的偶函數(shù)， f (x)在區(qū)間 [0， 2]上單調(diào)遞減，若 f (1m)f (m),求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 分析：根據(jù)函數(shù)的定義域， m， m∈ [2,2]，但是 1 m 和 m 分別在 [2， 0]和 [0，2]的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到偶函數(shù)，則 f (x)有性質(zhì) f（ x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場大 規(guī)模討論。從圖上直觀地判斷，然后再作證明。 抽象函數(shù)解題時(shí)常要用到以下結(jié)論： 定理 1：如果函數(shù) y=f(x)滿足 f(a+x)=f(bx)，則函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于 x= 對稱。 ∵ x 0， f (x) 0，而 ∴ ，則得 ， 即 f (x)在 R 上是一個(gè)減函數(shù)，可得 f (x)在 [a,b]上有最小值 f(b)。 .∴ k 0，可得 f (x)在 [a,b]上單調(diào)遞減，從而在[a,b]上有最小值 f(b)。由于這類問題可以全面考查學(xué)生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，同時(shí)抽象函數(shù)問題又將函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，周期性和圖象集于一身，所以在高考中不斷出現(xiàn)；如 2022 年上海高考卷 12 題， 2022 年江蘇高考卷 22 題， 2022 年浙江高考卷 12 題等。 另外，有關(guān)抽象函數(shù)問題中所給的函數(shù)性質(zhì)往往是對定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)都成立的，因此根據(jù)題意，將一般問題特殊化，選取適當(dāng)?shù)奶刂担ㄈ缌?x=1， y＝ 0 等），這是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的策略之一。同理，須在 (0， 1］上取點(diǎn) 1，使之與 v 配合以利用已知條件。 例：設(shè) y=蕊 (x)是定義在區(qū)間［－ 1， 1］上的函數(shù)，且滿足條件： （ i） f(－ 1)＝ f(1)＝ 0； （ ii）對任意的 u,v∈ ［－ 1， 1］ ,都有 — f(u)f(v)— ≤— uv— 。此類函數(shù)試題既能全面地考查學(xué)生對函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識。抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則。下面通過 例題來探討這類問題的求解策略。v0,不妨設(shè) u0，則 v0 且 vu1,其中 v∈ (0， 1］ ,u∈ ［－ 1， 0) 要想使已知條件起到作用，須在［－ 1， 0)上取一點(diǎn)，使之與 u 配合以利用已知條件，結(jié)合 f(－ 1)＝ f(1)＝ 0 知，這個(gè)點(diǎn)可選－ 1。在（ 1）的證明中，利用 f(1)=0,把 f(x)改寫成 — f(x)— ＝ — f(x)－ f(1)— ；在（ 2）的證明中，利用 f(－1)＝ f(1)＝ 0，把 — f(u)f(v)— 改寫成 — f(u)f(v)— ≤— f(u)f(－ 1)— ＋ — f(v)f(1)— ，這些變形起了重要的作用，因?yàn)槭沁@些變化創(chuàng)造了使用條件的機(jī)會，也創(chuàng)造了解決問題的捷徑。 山武補(bǔ)充： 1 抽象函數(shù)常常與周期函數(shù)結(jié)合，如： f(x)=f(x+2) f(x)=f(x+4) 2 解抽象函數(shù)題，通常要用賦值法，而且高考數(shù)學(xué)中，常常要先求 F（ 0） F（ 1） 抽象函數(shù)的經(jīng)典題目！??！ 我們把沒有給出具體解析式的函 數(shù)稱為抽象函數(shù)。 例 1 定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f (x + y) = f (x) + f ( y )(x， y∈ R)，當(dāng) x0 時(shí)， , f (x)0，則函數(shù) f (x)在 [a,b]上 ( ) A 有最小值 f (a) B 有最大值 f (b) C 有最小值 f (b) D 有最大值 f ( ) 分析：許多抽象函數(shù)是由特殊函數(shù)抽象背景而得到的，如正比例函數(shù) f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象為 f (x + y) = f (x) +f (y)，與此類似的還有 特殊函數(shù) 抽象函數(shù) f (x)= x f (xy) =f (x) f (y) f (x)= f (x+y)= f (x) f (y) f (x)= f (xy) = f (x)+f (y) f (x)= tanx f(x+y)= 此題作為選擇題可
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