[高考數(shù)學(xué)]抽象函數(shù)問題的求解策略(已修改)
2025-01-19 19:45 本頁(yè)面
【正文】 抽象函數(shù)問題的求解策略 北京清華附中數(shù)學(xué)特級(jí)教師 尹粉玉 函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用又是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則。此類函數(shù)試題既能全面地考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解和接受能力，以及對(duì)一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時(shí)，感到束手無策。下面通過 例題來探討這類問題的求解策略。 例：設(shè) y=蕊 (x)是定義在區(qū)間［－ 1， 1］上的函數(shù)，且滿足條件： （ i） f(－ 1)＝ f(1)＝ 0； （ ii）對(duì)任意的 u,v∈ ［－ 1， 1］ ,都有 — f(u)f(v)— ≤— uv— 。 （ Ⅰ ）證明：對(duì)任意的 x∈ ［－ 1， 1］ ,都有 x1≤f(x)≤1x； （ Ⅱ ）證明：對(duì)任意的 u,v∈ ［－ 1， 1］，都有 — f(u)f(v)— ≤1。 解題： （ Ⅰ ）證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng) x∈ ［－ 1， 1］時(shí)，有 f(x)=f(x)f(1)≤— x1— =1x,即x1≤f(x)≤1x. （ Ⅱ ）證明：對(duì)任意的 u,v∈ ［－ 1， 1］ ,當(dāng) — uv— ≤1時(shí)，有 — f(u)f(v)— ≤1 當(dāng) — uv— 1， uv0,不妨設(shè) u0，則 v0 且 vu1,其中 v∈ (0， 1］ ,u∈ ［－ 1， 0) 要想使已知條件起到作用，須在［－ 1， 0)上取一點(diǎn)，使之與 u 配合以利用已知條件，結(jié)合 f(－ 1)＝ f(1)＝ 0 知，這個(gè)點(diǎn)可選－ 1。同理，須在 (0， 1］上取點(diǎn) 1，使之與 v 配合以利用已知條件。所以， — f(u)f(v)— ≤— f(u)f(－ 1)— ＋— f(v)f(1)— ≤— u+1— +— v1— =1+u+1v=2(vu)1 綜上可知，對(duì)任意的 u,v∈ ［－ 1， 1］都有 — f(u)f(v)— ≤1. 點(diǎn)評(píng)：有關(guān)抽象函數(shù)問題中往往會(huì)給出函數(shù)所滿足的等式或不等式，因此在解決有關(guān)問題時(shí)，首先應(yīng)對(duì)所要證明或求解的式子作結(jié)構(gòu)上的變化，使所要證明或求解的問題的結(jié)構(gòu)與已知的相同。如本題未給出函數(shù) y=f(x)的解析表達(dá)式，而給出了一組特定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f(－1)=f(1)=0，以及兩個(gè)變量之差的絕對(duì)值不小于對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之差的絕對(duì)值的一般關(guān)系。在（ 1）的證明中，利用 f(1)=0,把 f(x)改寫成 — f(x)— ＝ — f(x)－ f(1)— ；在（ 2）的證明中，利用 f(－1)＝ f(1)＝ 0，把 — f(u)f(v)— 改寫成 — f(u)f(v)— ≤— f(u)f(－ 1)— ＋ — f(v)f(1)— ，這些變形起了重要的作用，因?yàn)槭沁@些變化創(chuàng)造了使用條件的機(jī)會(huì)，也創(chuàng)造了解決問題的捷徑。 另外，有關(guān)抽象函數(shù)問題中所給的函數(shù)性質(zhì)往往是對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)都成立的，因此根據(jù)題意，將一般問題特殊化，選取適當(dāng)?shù)奶刂担ㄈ缌?x=1， y＝ 0 等），這是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的策略之一。 總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難奏效，但我 們?nèi)绻芡ㄟ^對(duì)題目的信息分析與研究，采用特殊的方法和手段求解，往往會(huì)收到事半功倍之功效，同時(shí)在運(yùn)用這些策略時(shí)要做到密切配合，相得益彰。 ▲ 編輯本段 ]抽象函數(shù)解題方法 一般形式為 y=f(x)且無法用數(shù)字和字母表示出來的函數(shù)，一般出現(xiàn)在題目中，或許有定義域、值域等。 山武補(bǔ)充： 1 抽象函數(shù)常常與周期函數(shù)結(jié)合，如： f(x)=f(x+2) f(x)=f(x+4) 2 解抽象函數(shù)題，通常要用賦值法，而且高考數(shù)學(xué)中，常常要先求 F（ 0） F（ 1） 抽象函數(shù)的經(jīng)典題目?。?！ 我們把沒有給出具體解析式的函 數(shù)稱為抽象函數(shù)。由于這類問題可以全面考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，同時(shí)抽象函數(shù)問題又將函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，周期性和圖象集于一身，所以在高考中不斷出現(xiàn)；如 2022 年上海高考卷 12 題， 2022 年江蘇高考卷 22 題， 2022 年浙江高考卷 12 題等。學(xué)生在解決這類問題時(shí)，往往會(huì)感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法談一點(diǎn)粗淺的看法。 一．特殊值法 :在處理選擇題時(shí)有意想不到的效果。 例 1 定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f (x + y) = f (x) + f ( y )(x， y∈ R)，當(dāng) x0 時(shí)， , f (x)0，則函數(shù) f (x)在 [a,b]上 ( ) A 有最小值 f (a) B 有最大值 f (b) C 有最小值 f (b) D 有最大值 f ( ) 分析：許
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