數(shù)列通項公式的應(yīng)用論-全文預(yù)覽
【正文】 各式累加得 naan 112 ???? ， 即 naan 112 ??? （ 2） 因為 22?a ，代入（ 2）式得 nan 11?? 例 5： 已知數(shù)列 ??na 滿足 21?a ，nn anna 12 11 ????（ 1?n ） ，求 193a . 分析：這道題求數(shù)列的 193 項具體值， 雖然題干中沒有明確說明是求通項，但如果把首項 21?a 依次代入nn anna 12 11 ????中來求答案顯然不可能，所以觀察可知，設(shè) 12 1)( ??? nnnf ，很明顯 nn anfa )(1 ?? 可以用迭代法中的累乘法求數(shù)列的通項公式 .然后再求 193a . 解： 由題意可知，因為 nn anna 12 11 ???? ， 所以 12 11 ???? nnaa nn. 分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ,有 3212 ?aa 5323 ?aa ? 121 ??? nnaann. 各項等式相乘，有 12 21 ?? naan, 又因為 21?a ，代入上式得 12 4?? nan ， 所以 3854193?a . 例 4 與例 5 是典型 的數(shù)列類求通項的題，當遇到 )(1 nfaa nn ??? 與nn anfa )(1 ?? 類型時，用迭代的思想解決快速又簡單 . 例 { na }中， 741?a， 5 231nnn aa ???，求 { na }的通項。N,1 ??? nxan 若 11 xa? ，則 1xba nn ?? ， 其中 }{nb 是以 p 為公比的等比數(shù)列，即11111 , xabpbb nn ??? ? . 類型一 對于由 二階 遞推式 nnn qapaa ?? ?? 12 ，給出的數(shù)列 ??na ，方程02 ??? qpxx ，叫做數(shù)列 ??na 的特征方程 . （ 1） 當 方程有兩相同的特征根 1x ， 數(shù)列 ??na 的通項為 11)( ??? nn xBAa ，其中 A， B 由 21 aa， 決定 ,即 把 2,1?n ，代入 11)( ??? nn xBnAa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組 ，解出 A,B后，就得到數(shù)列 ??na 的 通項 . （ 2） 當特征方程有兩個相異的特征根 21,xx 時， 數(shù)列 ??na 的通項為1211 ?? ?? nnn BxAxa ，其中 A， B 由 21 aa， 決定 ， 即把 2121 , xxaa 和 2,1?n ，代入1211 ?? ?? nnn BxAxa ，得到關(guān)于 A、 B的方程組 ，解出 A,B后，就得到數(shù)列 ??na 的 通項 . 類型二，對于分式遞推式da qpaa nnn ???? c1，可作特征根方程 dx qpxx ??? c ， （ 1） 當特征方程有兩相同的特征根 1x 時 ， 若 ,11 xa? 則 。 類型二 cqnpaa nn ????1 （ p,q,c為常數(shù)， 1?p , 0?pq ) 此類型為類型一的變式，既然類型一能化成等比數(shù)列，那么假設(shè)類型二也能構(gòu)造成等比數(shù)列，假設(shè) 原遞推公式為 )()1(1 BAnapBnAa nn ??????? ， 化簡得 BApBnApApaa nn ??????? )(1 ， 又因為 cqnpaa nn ????1 所以，系數(shù)對應(yīng)相等得 qApA ?? cBApB ??? 解方程組得 1??pqA ? ?211 ???? p qp cB 由此計算出 AB 后就構(gòu)造了一個以 BAa ??1 為首項， p 為公比的等比數(shù)列? ?BAnan ?? . 用待定系數(shù)法求解通項公式， 它的核心是通過“待定”將遞推公式轉(zhuǎn)化為一種新的等比數(shù)列。如果題型簡單，我們 可以通過不完全歸納法進行歸納、猜想，然后借助于數(shù)學(xué)歸納法予以證明， 然而用數(shù)學(xué)歸納法證明雖然有固定的模式，但過程繁瑣，用時較多，而且在 新 版 教材中，數(shù)學(xué)歸納法 的思想很少提到 ，因而我們遇到這類問題，就要避免用數(shù)學(xué) 歸納法 的思想 。 從上述的數(shù)列中可以觀察出， 該數(shù)列為典型的立方數(shù)列，規(guī)律為： 31 ， 32 ，3 ， 34 ， 35 ?，所以我們可以猜想出其通項公式為 3nan? . 當然，選擇題和填空題并不要求寫出其解答過程，歸納猜想出來的通項公式只是一個合理猜想，如若遇到解答題，我們猜想出來的公式就還需要用數(shù)學(xué)歸納法的思想去檢驗 . 迭代法 所謂迭代法，就是層層代入，用舊的變量遞推新變量的過程，用迭代法解決數(shù)列問題關(guān)鍵是尋找各等式之間的聯(lián)系，從而求出數(shù)列的通項公式。
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