【正文】 抽油桿某一點的位移函數(shù)，即 Gibbs方程的解析解為： 001( , ) ( ( ) c o s ( ) s i n )22Nnnnru x t x O x n t P x n tEA?? ???? ? ? ?? 由胡克定律，抽油桿柱任意深度 x 截面上的動荷載隨時間的變化為： ( , )( , )r U x tF x t EA x?? ? 即一級桿的的情況下，抽油桿某一點的荷載函數(shù)為： 39。 將 4 個 傅氏級數(shù)帶入到式（ 27）和（ 28）中，即可得出懸點位移和荷載的函數(shù)，并可以通過 MATLAB 畫出懸點位移和荷載的曲線。將懸點動荷載函數(shù) ()Dt 及光桿位移函數(shù) ()ut 展開成傅氏級數(shù)： 01( ) ( c o s sin )2NnnnD t n t n t? ? ? ? ??? ? ?? （ 27） 01( ) ( c o s sin )2NnnnU t n t n t? ? ? ? ??? ? ?? （ 28） 根據(jù)附件 1 和 2 中給出的懸點處采集的離散的位移和荷載的數(shù)據(jù)，用下面的方法計算 4 個傅氏系數(shù) ? ?, , ,n n n n? ? ? ? ，然后將傅氏系數(shù)帶入到上面的懸點位移和荷載函數(shù)中。經(jīng)推導(dǎo)，它的運動可用下列微分方程來描述 [5]： 22222( , ) ( , ) ( , )u x t u x t u x tact x t? ? ???? ? ? （ 20） 其中： ( , )uxt 為抽油桿離地面懸點 x 深處在 t 時刻的位移 ； a 為應(yīng)力波在抽油桿中的傳播速度； c 為阻尼系數(shù)。其與題給附件 1 的懸點位移比較如下： 表 1 懸點理論位移與實際位移數(shù)據(jù) 懸點的理論位移 (m) 懸點的實際位移 (m) 1 2 3 4 ?? ?? ?? 5．問題二：泵功圖計算 問題分析 題目要求 使用 Gibbs 模型，給出由懸點示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細計算過程，在此基礎(chǔ)上計算出這兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)，并分別繪制出兩油井的懸點示功圖和泵功圖。 有桿抽油系統(tǒng)四連桿運動模型 實際抽油機的 /rL值是不可忽略的，特別式?jīng)_程長度較大時，忽略后會引起很大誤差，為此，本題中 / 1/4rL? ，這里我們把 B 點繞游梁支點的弧線運動近似的看做直線運動，則可把抽油機的運動簡化為如下圖所示的曲柄滑塊運動。 在 OBD? 中，根據(jù)余弦定理可得 [3,4]： ? ?2 2 2 2 c o s ( )L b J b J ? ? ?? ? ? ? ? （ 1） 得 2 2 21c o s2b J LbJ? ? ?? ????? ? ????? （ 2) 由幾何關(guān)系可得： ? ? ? ?22s i n c o sJ I r H r??? ? ? ? （ 3） 1 sinc o sIrtg Hr ?? ?? ???? ????? （ 4） 可知式中 wt?? 。 有桿抽油系統(tǒng)四連桿運動函數(shù)計算 游梁擺動方程的建立 有桿抽油系統(tǒng)四連桿幾何結(jié)構(gòu)如圖 1 所示。并與有荷載的附件 1 的懸點位移數(shù)據(jù)進行比較。 4．抽油設(shè)備在工作過程中不受沙、蠟、水和溫度等因素的影響。如果需要題目之外的數(shù)據(jù)，請用字母表示之并給出計算 c 的推導(dǎo)過程。在合理的假設(shè)下，重新建立抽油系統(tǒng)模型或?qū)ΜF(xiàn)有模型進行改進；并給出由懸點示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細計算過程，包括：原始數(shù)據(jù)的處理、邊界條件、初始條件、求解算法；利用附件 附件 2 的數(shù)據(jù)重新進行計算；對計算結(jié)果與問題二的計算結(jié)果進行比較，分析你的模型的優(yōu)缺點。請建立模型或算法，以由計算機自動判別某泵功圖數(shù)據(jù)是否屬于泵內(nèi)有氣體的情況。 問題二：泵功圖計算 請使用 Gibbs 模型，給出由懸點示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的詳細計算過程，包括：原始數(shù) 據(jù)的處理、邊界條件、初始條件、求解算法；附件 1 是只有一級桿的某油井參數(shù)和懸點示功數(shù)據(jù)，附件 2 是有三級桿的另一油井參數(shù)和懸點示功數(shù)據(jù)，利用它們分別計算出這兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)；并分別繪制出兩油井的懸點示功圖和泵功圖（每口井繪一張圖，同一井的懸點示功圖與泵功圖繪在同一張圖上，請標(biāo)明坐標(biāo)數(shù)據(jù)）。 請解決以下問題： 問題一：光桿懸點運動規(guī)律 電機旋轉(zhuǎn)運動通過四連桿機構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)槌橛蜅U的垂直運動。通過懸點示功圖可以初步診斷該井的工作狀況，如產(chǎn)量、氣體影響、閥門漏液、沙堵等等。第二問中，通過抽油桿柱的摩擦功率得到了阻尼系數(shù)的求解公式，并給出了迭代求解阻尼系數(shù)的算法和迭代流程圖（圖 9）。 針對問題二，首先利用分離變量法將 Gibbs 波動方程拆分為位移函數(shù)和荷載函數(shù)，并對其進行傅里葉級數(shù)展開，得出了懸點處隨時間變化的位移和荷載函數(shù)，求得了泵隨時間變化的位移和荷載函數(shù)，進而計算出兩口油井的泵功圖數(shù)據(jù)（表 表 4），繪制出了兩油井的懸點示功圖和泵功圖（圖 圖 6）。 針對問題一， 本文從有桿抽油系統(tǒng)四連桿結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系和運動特點出發(fā)，首先建立了游梁的擺動方程，進而求得了懸點 E 運動的數(shù)學(xué)模型（式（ 19）），并根據(jù)題給數(shù)據(jù)對模型進行了 求解并得到了運動規(guī)律曲線（如圖 3），最后與有荷載的附件 1的懸點位移數(shù)據(jù)進行了比較（見表 1）。 針對問題四，第一問中，首先分析了 Gibbs 波動方程建立的過程，認為 Gibbs模型忽略了重力的影響，在 Gibbs 模型的基礎(chǔ)上加入了重力因素加以改進，得到了相應(yīng)的位移和荷載函數(shù)（式 7式 72）。電機旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為抽油桿上下往返周期運動，帶動設(shè)置在桿下端的 泵 的兩個閥的相繼開閉，從而將地下上千米深處蘊藏的原油抽到地面上來。因此，通過數(shù)學(xué)建模，把懸點示功圖轉(zhuǎn)化為桿上任意點的示功圖（統(tǒng)稱為地下示功圖）并最終確定泵功圖，以準(zhǔn)確診斷該井的工作狀況，是一個很有價值的實際問 題。并與有荷載的附件 1的懸點位移數(shù)據(jù)進行比較。（單位：噸，這里所指 的液體是指從井里抽出來的混合液體） 2）如圖 5（ C）形式的泵功圖表示泵內(nèi)有氣體，導(dǎo)致泵沒充滿。 鼓勵全做 ） 1）請對 Gibbs 模型進行原理分析，發(fā)現(xiàn)它的不足。對此，請你進行研究，詳細給出計算 c 的理論推導(dǎo)過程并盡可能求出 c。 3．力在抽油桿中的傳遞是瞬時的，閥的起落也是瞬時的。 7 ES ES 為任意時刻懸點位移 8 ?J ?J 為 J 對時間的導(dǎo)數(shù) 9 ?? ?? 為 ? 對時間的導(dǎo)數(shù) 10 ?? ?? 為游梁擺動的角速度 11 ??? ??? 為 任意時刻游梁擺動的角加速度 4．問題一 ：光桿懸點運動規(guī)律 問題分析 題目要求根據(jù)附錄 4 給出的四連桿各段尺寸，利用附錄 1 的參數(shù)，求出 懸點 E 的一個沖程的運動規(guī)律：位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)。我們可從有桿抽油系統(tǒng)四連桿機構(gòu)的幾何關(guān)系和運動特點出發(fā)，建立游梁的擺動方程，通過建立的游梁的擺動方程得出游梁擺角的變化規(guī)律，進而求解懸點 E 的一個沖程的運動規(guī) 4 律（位移函數(shù)、速度函數(shù)、加速度函數(shù)）建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后聯(lián)系到實際情況對模型進行簡化、求解，最后利用所求結(jié)果與有荷載的附件 1 的懸點位移數(shù)據(jù)進行比較。 圖 1 有桿抽油系統(tǒng)四連桿幾何結(jié)構(gòu)圖 其中： YOB ???， COD ???， OOM ????， MOD ????,OA a? ， OB b? ，BD L? ,OD J? ,OO K?? ,OD r? ? ,H 為 O? 到坐標(biāo)橫軸的距離， I 為 O? 到坐標(biāo)縱軸的距離。由式（ 3）和式（ 4）得 si n( )J wr ????? （ 8） cos ( )wrJ? ? ???? （ 9） 將式（ 8）和式（ 9）帶入式（ 7）得 ? ?? ?c os sin( ) c os( )sinJ wrwrbJ J??? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? （ 10） 整理的得 ? ? ? ?? ?s in s ins inwr J bbJ? ? ? ?? ??? ? ?????? ? ? （ 11） 由幾何關(guān)系不難得到 ? ? ? ?s in s inJK? ? ? ?? ? ? （ 12）其中： 22K I H?? 1 Itg H? ?? 將式 (12)帶入式（ 11）中，得游梁擺動的角速度 ?? 為 6 ? ? ? ?? ?s in s ins inw r K bbJ? ? ? ?? ??? ? ?????? ? ? （ 13） 游梁擺動時，因前、后臂的角速度相等，故任意時刻懸點的速度 EV 為 ? ? ? ?? ?s i n s i n= s i nEAa w r K bV V a bJ ? ? ? ?? ??? ? ???????? ? （ 14） 懸點加速度函數(shù) 將式（ 13）兩邊同對時間 t 求導(dǎo)，整理得任意時刻游梁擺動的角加速度 ??? 為 ? ? ? ? ? ? ? ?22c os c os 2 c os c ossin( + )w r K b bwrbJ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ??????? ? （ 15） 游梁擺動時，因前、后臂的角速度相等，故任意時刻懸點的速度EAW W a?????為 ? ? ? ? ? ? ? ?c o s c o s 2 c o s c o ssin ( + )E w r K b b wrWa bJ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ?????? （ 16） 對于一定型號的抽油機，其尺寸 ? ?, , , , ,a b L H I r 是已知的，給定曲柄旋轉(zhuǎn)的角速度 w 或轉(zhuǎn)速 n ，應(yīng)用以上公式便可計算各運動參數(shù) [3]。 數(shù)據(jù)比較 根據(jù)附錄 4 所給連桿的各段尺寸和附件 1 的參數(shù)，在一個周期內(nèi)，利用上述模型求得懸點處位移、速度和加速度的變化曲線為： 圖 3 懸點的理論位移、速度及加速度曲線 8 在一個周期內(nèi)，利用公式（ 19）求得懸點處的理論位 移（具體數(shù)據(jù)見附錄1）。 Gibbs 模型 —— 一級桿情況下泵功圖的計算 抽油桿的力學(xué)模型是一根具有粘滯阻尼的作縱向震動的細長圓桿。 3．連續(xù)性條件 連續(xù)性條件主要針對油桿是不同直徑的組合桿和不同材料的混合桿時使用，在交界處油桿受力和油桿位移的連續(xù)性條件是： , 1 , 2( ) ( )i j i jFF? （ 25） , 1 , 2( ) ( )i j i juu? （ 26） 4．懸點位移和荷載方程的求解 本文采用分離變量傅里葉變換法求解波動方程。然后令 t??? ， 2T??? ， ddt d??? ，T 為周期，可得到： 201 ( ) c o s ( 0 , 1 , 2 , )n D n d t n N?? ? ????? （ 29） 考慮到 ? 是離散變量： 2 ( 1 , 2 , , )p pkk?? ?? (30) 用下面符號表示： 2()ppDDk? ? ， 2()ppUUk? ? (31) 采用梯形法則進行數(shù)值積分： 10 0 1 1 212 0 2 1 2 1 2 2c os( ) c os( ) c os( ) c os( )1222 ( 1 ) 2c os( ) c os( )22nkkn n n nD D D Dk k k kn k n kDDkkk? ? ? ???????? ? ? ? ????? ????? ?? ?? ??? ? ? ??? ????? ?????? ?（ 32） 合并同類項得到： 0 11c o s 02 2 1 2 ( 1 ) 2c o s( ) c o s( ) c o s( )22n k kD n n k nD D Dk k k? ? ?? ?? ? ???? ? ? ????? (33) 由函數(shù)的周期性可得： 0 kDD? ， cos0 co