經(jīng)濟數(shù)學微積分二重積分的概念與性質(zhì)-全文預覽
【正文】 用若干個小平頂柱 體體積之和近似表 示曲頂柱體的體積 . xzyoD),( yxfz ?i??? ),( ii ??.),(lim10iiniifV ???? ?? ???曲頂柱體的體積 先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域 ，求對應小曲頂柱體體積的近似值 . i?? 設有一平面薄片，占有 x O y 面上的閉區(qū)域D ，在點 ),( yx 處的面密度為 ),( yx? ，假定),( yx? 在 D 上連續(xù)，平面薄片的質(zhì)量為多少？ ２．求平面薄片的質(zhì)量 i??? ),( ii ??將薄片分割成若干小塊， 取典型小塊，將其近似 看作均勻薄片，求質(zhì)量 . 所有小塊質(zhì)量之和 近似等于薄片總質(zhì)量 .),(lim10iiniiM ????? ?? ???xyO定義 設 ),( yxf 是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域 D 任意分成 n 個小閉區(qū)域1?? ，?,2?? ，n?? ，其中i?? 表示第 i 個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個i?? 上任取一點 ),(ii?? ， 作乘積 ),(iif ??i?? ， ),2,1( ni ?? ， 并作和 iiniif ??? ???),(1, 二、二重積分的概念 積分區(qū)域 如果當各小閉區(qū)域 的直徑中的最大值 ? 趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù) ),( yxf在閉區(qū)域 D 上的 二重積分 (d o ub l e int eg ra l ) ， 記為??Dyxf ?d),( ， 即 ( , ) dDf x y ???iiniif ?????? ???),(lim10. 積分和 被積函數(shù) 積分變量 被積表達式 面積元素 (1 ) 在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的 .( 2 ) 當 ),( yxf 在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在 . 對二重積分定義的說明： 二重積分的幾何意義 : 當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積． 當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值． 在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域 D， ( , ) d ( , ) d dDDf x y f x y x y? ??? ??d d dxy? ?故二重積分可寫為 xyOD 則 面積元素 (areal element)為 性質(zhì)１ [ ( , ) ( , ) ] dDf x y g x y? ? ????( , ) d ( , ) d .DDf x y g x y? ? ? ????? ??（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)） 三、二重積分的性質(zhì) 設 、 為常數(shù) ，則 ??性質(zhì) 2 對積分區(qū)域具有可加性 12( , ) d ( , ) d ( , ) d .D D Df x y f x y f x y? ? ????? ?? ??性質(zhì) 3 ?若 為 D的面積 ,則 1 d d .DD? ? ????? ??性質(zhì) 4 若在 D上 ),(),( yxgyxf ?( , ) d ( , ) d .DDf x y g x y????? ??特殊地 ( , ) d ( , ) d .DDf x y f x y????? ??)( 21 DDD ??則有 設 M 、 m 分別是 ),( yxf 在閉區(qū)域 D 上的最大值和最小值， ?
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