【正文】 導(dǎo)數(shù)在方程解的 問(wèn)題上的應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，可研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題 . 例 14（ 2020 年湖南理科） 已知函數(shù) f ( x ) = 3x ， g ( x )= x + x ,求函數(shù)h (x )=f (x )g (x )的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由； 解析 由 3()h x x x x? ? ?知 [0, )? ?? ，而 (0) 0h ? ，且 (1) 1 0, (2) 6 2 0hh? ? ? ? ? ?，則 0x? 為 ()hx的一個(gè)零點(diǎn)，且 ()hx在 12（ ， ） 內(nèi)有零點(diǎn)，因此 ()hx至少有兩個(gè)零點(diǎn) . 解 因?yàn)?12 2139。 ?xg ；當(dāng) 12 ??? x 時(shí)， 0)(39。 x x a x b? ? ?, 因?yàn)?1和 1? 是函數(shù)32()f x x ax bx? ? ?的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以 (1) 3 2 =0f39。 xf 0? 時(shí)， )(xf 在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù) 2 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) . 利用導(dǎo)數(shù)求極值可分為三步 . (1)求導(dǎo)數(shù) )(xf ； (2)求方程 )(xf 0? 的根； (3)檢 驗(yàn) )(39。 xfy? . (3)由 )(39。 xf = ? ?39。([ xfg )39。 xgxfxgxf ? . 3 ]39。)(39。 8 若 ?)(xf xln , 則 ?)(39。 6 若 ?)(xf e x ,則 ?)(39。 4 若 ?)(xf xcos , 則 ?)(39。 xf 0 ； 2 若 ?)(xf x ? ( ?? Q? ),則 ?)(39。 0 ) = 39。 除 文 中 已 經(jīng) 注 明 引 用 的 內(nèi) 容 外 ，不 包 含 任 何 其 他 個(gè) 人 或 集 體 已 經(jīng) 發(fā) 表 或 撰 寫(xiě) 過(guò) 的 科 研成果。 學(xué) 位 論 文 中 凡是 引 用 他 人 已 經(jīng) 發(fā) 表 或 未 經(jīng) 發(fā) 表 的 成 果 、 數(shù) 據(jù) 、 觀 點(diǎn)等均已明確 注 明 出 處 。 the application of calculus can help us quickly solve the practical problems in our daily life. This paper mainly studies the application of calculus in solving mathmatics problems, such as limit, derivative and differential, and inequality, in high school, systematically analysising and summerizing some simple and convenient mathmatics problemsolving methods of calculus in high school. Key words limit, calculus, application, Mathmatics in high school. 目 錄 1 引言 .................................................................... 1 2 極限 ................................................................... 1 函數(shù)的極限 ........................................................ 1 函數(shù)極限的求法 .................................................... 2 3 微分 . ................................................................... 4 變化率與導(dǎo)數(shù) ...................................................... 4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 ........................................................ 4 4 積分 ................................................................... 16 積分的概念 ....................................................... 16 5 綜合應(yīng)用 ............................................................... 17 不等式的綜合應(yīng)用 ................................................. 17 用微分中值定理 ................................................... 18 微積分在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用 ..................................... 20 微積分在高考中的應(yīng)用 ............................................. 22 6 小結(jié) ................................................................... 25 參考文獻(xiàn) ................................................................ 26 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 1 1 引言 為了描述現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)動(dòng)，變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入函數(shù) .刻畫(huà)靜態(tài)現(xiàn)象的數(shù)與刻畫(huà)動(dòng) 態(tài)現(xiàn)象的函數(shù)都是數(shù)學(xué)中非常重要的概念，隨著對(duì)函數(shù)研究的不斷深化，產(chǎn)生了微積分，它是數(shù)學(xué)發(fā)展史上繼歐式幾何后又一個(gè)具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑 . 微積分的創(chuàng)立與處理四類(lèi)問(wèn)題直接相關(guān)，一是已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度，反之，已知物體的加速度作為時(shí)間的函數(shù)，求速度與路程；二是求曲線的切線；三是求函數(shù)的最大值與最小值；四是求長(zhǎng)度，面積，體積和重心等 .幾百年中，科學(xué)家們對(duì)這些問(wèn)題的興趣和研究經(jīng)久不衰 .終于，在 17 世紀(jì)中葉，牛頓和萊布尼茨在前人探索與研究的基礎(chǔ)上， 憑著他們敏銳的直覺(jué)和豐富的想象力，各自獨(dú)立的創(chuàng)立了微積分 . 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心觀念之一，它是研究函數(shù)增減，變化快慢，最大（?。┲档葐?wèn)題的最一般，最有效的工具，因而也是解決諸如運(yùn)動(dòng)速度，物種繁殖率，綠化面積增長(zhǎng)率，以及用料最省，利潤(rùn)最大，效率最高等實(shí)際問(wèn)題的最有力的工具，定積分也是微積分核心觀念之一，與導(dǎo)數(shù)相比，定積分的起源要早的多，它的思想萌芽甚至可以追溯到兩千多年前，自然科學(xué)和生產(chǎn)實(shí)踐中的許多問(wèn)題，如一般平面圖形的面積，變速直線運(yùn)的路程，變力所做的功等都可以歸結(jié)為定積分的問(wèn)題，實(shí)際上，微積分在物理，化學(xué)，生物，天文，地理以及經(jīng)濟(jì)各種科學(xué)領(lǐng)域中都有非常廣泛的應(yīng)用 . 在本文中，我們將利用豐富的背景與大量實(shí)例，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和定積分的基本概念與思想方法；通過(guò)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，解決生活中的最優(yōu)化問(wèn)題等實(shí)踐活動(dòng)，通過(guò)應(yīng)用定積分解決一些簡(jiǎn)單的幾何和物理問(wèn)題，初步感受導(dǎo)數(shù)和定積分在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題與時(shí)間問(wèn)題中的作用；通過(guò)微積分基本定理的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系， 最好的解決了高考中的考點(diǎn)問(wèn)題 . 2 極限 極限是微積分中的基礎(chǔ)概念，它指的是變量在一定的變化過(guò)程中，從總的來(lái)說(shuō)逐漸穩(wěn)定 的這樣一種變化趨勢(shì)以及所趨向 的數(shù)值（極限值） . 函數(shù)的極限 定義 設(shè)RRDf ??:是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)上的函數(shù) .L 是一個(gè)給定的實(shí)數(shù) .c是一個(gè)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 2 數(shù)，并且函數(shù)f在c的某個(gè)去心鄰域上有定義 .如果對(duì)任意的正實(shí)數(shù)?都存在一個(gè)正實(shí)數(shù)?使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x只要f在點(diǎn) 處有定義，并且x在c的某個(gè)?一個(gè)去心領(lǐng)域中即 ） ，???? ||0 0xx 就有???|)(| Lxf，那么就稱(chēng)L是函數(shù)f在 趨于 時(shí)的極限 . 函數(shù)極限的求法 本節(jié) 論述 幾種函數(shù)極限的求法 . 約去零因子求極限 例 1 求極限 11lim 41 ??? xxx 【 說(shuō)明 】 1?x 表明 1與x 無(wú)限接近，但 1?x ，所以 1?x 這一零因子可以約去 . 解 (傳統(tǒng)法 ) 6)1)(1(l i m1 )1)(1)(1(l i m 2121 ?????????? xxxxxxxx=4. （ 洛必達(dá) ） 11lim 41 ??? xxx= 314limxx?=4 . 分子分母同 除求極限 例 2 求極限 13lim323 ???? xxxx 【 說(shuō)明 】 ?? 型且 分子分母都以多項(xiàng)式給出 的極限 ,可通過(guò) 分子分母同除來(lái)求 . 解 3131lim13lim 311323 ?????? ???? xxxx x xx. 【 注 】 (1) 一般分子分母同除 x 的最高次方； (2) ????????????????????????nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim011011?? 分子 (母 )有理化求極限 例 3 求極限 )13(lim 22 ?????? xxx 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2020 屆畢業(yè)論文 3 【 說(shuō)明】 分子或分母有理化求極限，是通過(guò)有理化化去無(wú)理式 . 解 13 )13)(13(lim)13(lim 22222222??? ?????????? ?????? xx xxxxxx xx 13 2lim 22 ???? ??? xxx 0? . 例 4 求極限30 s in1ta n1lim x xxx ???? 解 xxx xxx xx xx s i n1t a n1 s i nt a nl i ms i n1t a n1l i m 3030 ??? ????? ?? 300 s i nt a nl i ms i n1t a n1 1l i m x xxxx xx ????? ?? 30 s int a nlim21 x xxx ?? ? 41? . 【 注 】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵 . 用洛必達(dá)法則求極限 例 5 求極限220)s in1ln (2co slnlim x xxx??? 說(shuō)明 ?? 或 00 型的極限 ,可通過(guò)洛必達(dá)法則來(lái) 求 . 解 220)s i n1l n (2co slnlim x xxx??? xxxxxx 2s i n12s i n2c o s2s i n2lim 20 ???? ? ?????? ???? ? xxx xx 20 s in1 12c o s 22 2s inlim .3?? 例 6