【正文】 lus is one of the most widelyused subjects in mathematics in high school。 除 文 中 已 經(jīng) 注 明 引 用 的 內(nèi) 容 外 ，不 包 含 任 何 其 他 個 人 或 集 體 已 經(jīng) 發(fā) 表 或 撰 寫 過 的 科 研成果。 畢業(yè)論文 題 目 微積分在高中數(shù)學中的應用 學 院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 研究類型 研究綜述 提交日期 2020 5 10 原創(chuàng)性聲明 本 人 鄭 重 聲 明 ： 本 人 所 呈 交 的 論 文 是 在 指 導 教 師的 指 導 下 獨 立 進 行 研 究 所 取 得 的 成 果 。 學 位 論 文 中 凡是 引 用 他 人 已 經(jīng) 發(fā) 表 或 未 經(jīng) 發(fā) 表 的 成 果 、 數(shù) 據(jù) 、 觀 點等均已明確 注 明 出 處 。 本聲明的法律責任由本人承擔。 the application of calculus can help us quickly solve the practical problems in our daily life. This paper mainly studies the application of calculus in solving mathmatics problems, such as limit, derivative and differential, and inequality, in high school, systematically analysising and summerizing some simple and convenient mathmatics problemsolving methods of calculus in high school. Key words limit, calculus, application, Mathmatics in high school. 目 錄 1 引言 .................................................................... 1 2 極限 ................................................................... 1 函數(shù)的極限 ........................................................ 1 函數(shù)極限的求法 .................................................... 2 3 微分 . ................................................................... 4 變化率與導數(shù) ...................................................... 4 導數(shù)的應用 ........................................................ 4 4 積分 ................................................................... 16 積分的概念 ....................................................... 16 5 綜合應用 ............................................................... 17 不等式的綜合應用 ................................................. 17 用微分中值定理 ................................................... 18 微積分在高中數(shù)學競賽中的應用 ..................................... 20 微積分在高考中的應用 ............................................. 22 6 小結(jié) ................................................................... 25 參考文獻 ................................................................ 26 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 1 1 引言 為了描述現(xiàn)實世界中的運動，變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入函數(shù) .刻畫靜態(tài)現(xiàn)象的數(shù)與刻畫動 態(tài)現(xiàn)象的函數(shù)都是數(shù)學中非常重要的概念，隨著對函數(shù)研究的不斷深化，產(chǎn)生了微積分，它是數(shù)學發(fā)展史上繼歐式幾何后又一個具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造，被譽為數(shù)學史上的里程碑 . 微積分的創(chuàng)立與處理四類問題直接相關，一是已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度與加速度，反之，已知物體的加速度作為時間的函數(shù)，求速度與路程；二是求曲線的切線；三是求函數(shù)的最大值與最小值；四是求長度，面積，體積和重心等 .幾百年中，科學家們對這些問題的興趣和研究經(jīng)久不衰 .終于，在 17 世紀中葉，牛頓和萊布尼茨在前人探索與研究的基礎上， 憑著他們敏銳的直覺和豐富的想象力，各自獨立的創(chuàng)立了微積分 . 導數(shù)是微積分的核心觀念之一，它是研究函數(shù)增減，變化快慢，最大（?。┲档葐栴}的最一般，最有效的工具，因而也是解決諸如運動速度，物種繁殖率，綠化面積增長率，以及用料最省，利潤最大，效率最高等實際問題的最有力的工具，定積分也是微積分核心觀念之一，與導數(shù)相比，定積分的起源要早的多，它的思想萌芽甚至可以追溯到兩千多年前，自然科學和生產(chǎn)實踐中的許多問題，如一般平面圖形的面積，變速直線運的路程，變力所做的功等都可以歸結(jié)為定積分的問題，實際上，微積分在物理，化學，生物，天文，地理以及經(jīng)濟各種科學領域中都有非常廣泛的應用 . 在本文中，我們將利用豐富的背景與大量實例，學習導數(shù)和定積分的基本概念與思想方法；通過應用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，解決生活中的最優(yōu)化問題等實踐活動，通過應用定積分解決一些簡單的幾何和物理問題，初步感受導數(shù)和定積分在解決數(shù)學問題與時間問題中的作用；通過微積分基本定理的學習，初步體會導數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系， 最好的解決了高考中的考點問題 . 2 極限 極限是微積分中的基礎概念，它指的是變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩(wěn)定 的這樣一種變化趨勢以及所趨向 的數(shù)值（極限值） . 函數(shù)的極限 定義 設RRDf ??:是一個定義在實數(shù)上的函數(shù) .L 是一個給定的實數(shù) .c是一個數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 2 數(shù)，并且函數(shù)f在c的某個去心鄰域上有定義 .如果對任意的正實數(shù)?都存在一個正實數(shù)?使得對任意的實數(shù)x只要f在點 處有定義，并且x在c的某個?一個去心領域中即 ） ，???? ||0 0xx 就有???|)(| Lxf，那么就稱L是函數(shù)f在 趨于 時的極限 . 函數(shù)極限的求法 本節(jié) 論述 幾種函數(shù)極限的求法 . 約去零因子求極限 例 1 求極限 11lim 41 ??? xxx 【 說明 】 1?x 表明 1與x 無限接近，但 1?x ，所以 1?x 這一零因子可以約去 . 解 (傳統(tǒng)法 ) 6)1)(1(l i m1 )1)(1)(1(l i m 2121 ?????????? xxxxxxxx=4. （ 洛必達 ） 11lim 41 ??? xxx= 314limxx?=4 . 分子分母同 除求極限 例 2 求極限 13lim323 ???? xxxx 【 說明 】 ?? 型且 分子分母都以多項式給出 的極限 ,可通過 分子分母同除來求 . 解 3131lim13lim 311323 ?????? ???? xxxx x xx. 【 注 】 (1) 一般分子分母同除 x 的最高次方； (2) ????????????????????????nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim011011?? 分子 (母 )有理化求極限 例 3 求極限 )13(lim 22 ?????? xxx 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 3 【 說明】 分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式 . 解 13 )13)(13(lim)13(lim 22222222??? ?????????? ?????? xx xxxxxx xx 13 2lim 22 ???? ??? xxx 0? . 例 4 求極限30 s in1ta n1lim x xxx ???? 解 xxx xxx xx xx s i n1t a n1 s i nt a nl i ms i n1t a n1l i m 3030 ??? ????? ?? 300 s i nt a nl i ms i n1t a n1 1l i m x xxxx xx ????? ?? 30 s int a nlim21 x xxx ?? ? 41? . 【 注 】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關鍵 . 用洛必達法則求極限 例 5 求極限220)s in1ln (2co slnlim x xxx??? 說明 ?? 或 00 型的極限 ,可通過洛必達法則來 求 . 解 220)s i n1l n (2co slnlim x xxx??? xxxxxx 2s i n12s i n2c o s2s i n2lim 20 ???? ? ?????? ???? ? xxx xx 20 s in1 12c o s 22 2s inlim .3?? 例 6 求1lim??x 1 1222 ???x xx 解（方法一）1lim??x 1 1222 ???x xx =1lim??x )1)(1( )1)(1( ?? ?? xx xx 數(shù)學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 4 =1lim??x 11??xx =0 （方法二） 1lim??x 1 1222 ???x xx =1lim??x xx2 22 ?=0（洛必達法則） 3 微分 . 變化率與導數(shù) 一般地，函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處的瞬時變化率