【正文】 界中對半?yún)?shù)平差模型研究具體主要分為以下兩種： （ 1）附加系統(tǒng)參數(shù)的半?yún)?shù)平差模型： L Bx S? ? ?? （ 14） 上式中，觀測值 L 為 n 維列向量，參數(shù)向量 x 為 t 維列向量， t 為是經(jīng)典平差模型中求得唯一解的必需觀測數(shù)， B 代表了參數(shù)分量的關(guān)系，是一個列滿秩矩陣，觀測誤差向量 ?為 n 維列向量， n 維未知向量 12[ , ,..., ]TnS S S S? 是描述了模型誤差或者觀測中的系統(tǒng)誤差。 中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 5 上面這兩種模型的主要區(qū)別是在于解算的過程中：模型（ 14）是先計算非參數(shù)分量 S再計算參數(shù)分量 x ；模型（ 19）是先計算參數(shù)分量 X 再計算非參數(shù)分量 s 。 半?yún)?shù)核估計理論應(yīng)用研究現(xiàn)狀 目前國內(nèi)外對于核估計已經(jīng)做了很多研究：在國外， Silverman（ 1986） 對自適應(yīng)核估計做了研究； （ 20xx） 對非對稱核密度估計進行了研究，并深入討論了如何偏差校正； Scott（ 1992） 、 Jones（ 1995） 研究了核光滑估計 ； Peter （ 20xx）對高階核半?yún)?shù)估計做了研究； 、 （ 20xx） 對如何運用核密度估計來消除半?yún)?shù)邊界誤差以及交替的核混合密度估計做了研究； Sebastiano Manzan（ 20xx） 對基于偏線性相加模型下的核密度估計做了研究； Eva Ferreira（ 1997） 對在不穩(wěn)定情況下的相關(guān)誤差，討論了核回歸估計中的曲線 如何增長； Tae Yoon Kim（ 1995）對較強混合過程中的核密度估計做了研究； （ 1996） 對數(shù)據(jù)驅(qū)動密度估計及其相關(guān)應(yīng)用做了研究； Nils Lid Hjort（ 20xx） 對核密度估計中的最佳窗寬選取做了研究； Bert van Es（ 1997）對非光滑核密度估計中的積分均方誤差進行了分析； Yuri Goegebeur（ 20xx） 對極值統(tǒng)計中的參數(shù)核估計做了研究； . Karunamuni（ 20xx） 對有限混合模型核估計的漸進正態(tài)自適應(yīng)性做了研究； Fateh Chebana（ 20xx）， Michel Carbon， Carlos Tenreiro， Abdelkader Mokkadem， Delaigle 等學(xué)者均深入研究了核估計。 半?yún)?shù)核估計理論 目前，研究半?yún)?shù)平差模型的主要方法有偏樣條估計、最小二乘估計、分塊多項式估計、二階段估計、多項式估計、三角級數(shù)估計、小波估計等，但是目前只有張松林 [26]、丁士俊 [25]等對于半?yún)?shù)平差模型中的核估計進行了研究。 在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，我們在判斷和估計一個數(shù)學(xué)模型的主要思想就是用從總體樣本中所隨機抽取的部分樣本來對總體進行估計，而本文研究的核估計就是來源于這種思想。 同非參數(shù)平差模型一樣，一提到半?yún)?shù)核估計理論就不得不引入權(quán)函數(shù)。()( 1 nkiki tttWtW ?? ，是整個樣本相對于點 kt 的權(quán)，它反映了在估計 )(its 時，樣本作用的大小。1( : ,... ) 0hn i nW t t t ?， 。 Watson 與 Nadaraja(1964)提出了一種適合非參數(shù)模型的核函數(shù) ，即選定 R 空間上的核函數(shù) ()K? (一般為概率密度 )，核權(quán)函數(shù)的定義為： ? ? ? ?? ?? ?? ?111kiik nkjjK t t hWtK t t h??????? , , 1, ,i j k n? （ 23） 則 )(its 的權(quán)函數(shù)估計 )(iWtS 可表示為： )(iWtS = ikni i LtW )(?= 11()()nkiiinkjjttKh LttKh?????? （ 24） 這種核估計被稱為 WastonNadaraja 核估計，上式中窗寬參數(shù) h 是一個重要的光滑參數(shù)，當(dāng)()K? 以 [1,1]為其范圍，且 )(?K 是單峰、對稱， )(iWtS 是集中在 t 附近一個鄰域的樣本的加權(quán)平均值，而 h 正好是該鄰域的寬度。因為核函數(shù)的選取，對估計結(jié)果有很大影響。如果選擇窗寬參數(shù) nh 太小，核估計會出現(xiàn)比較大的干擾尤其是圖像尾部，這 時就會有增大方差的趨勢；相反，如果選擇窗寬參數(shù) nh 太大， x 經(jīng)過數(shù)學(xué)壓縮變換 inxXh? 之后平均化作用就會顯得突出，結(jié)果是密度的細節(jié)部分便就淹沒了，我們在實際應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)實際情況來適當(dāng)?shù)倪x擇窗寬參數(shù) nh ，來平衡前述討論的兩種不同情況。 167。hg n i i nnS S h W t ???，則稱（ 231）式的估計為偏核光滑估計，則此時的非參數(shù)分量 ??st 的估計為： ? ?。 和 節(jié)介紹的兩種核估計方法雖然某些思想不同，但最終都是基于最小二乘準則下的對半?yún)?shù)模型所作的理論方法研究，所以從某些意義上來說，最小二乘準則是所有測量數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用最為廣泛的原則，不管是何種平差模型，我們都將可以將其運用最小二乘思想求解。這些統(tǒng)計性質(zhì)是平差模型的精度評定，模型的適用范圍確定等問題的依據(jù)和基礎(chǔ)。 由 所計算的半?yún)?shù)的兩種核估計的期望可知，這兩種核估計的非參數(shù)分量和參數(shù)分量的結(jié)果都是有偏的。 半?yún)?shù)偏核光滑估計量的性質(zhì) 一、估計量的方差 根據(jù)第二章半?yún)?shù)偏核光滑估計。 根據(jù)式（ 33），可推出半?yún)?shù)最小二乘核估計的參數(shù)分量偏差如下： ? ? ? ?11k k k k k kb ia s X E X X X J B J s X J B J s?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 36） 和式（ 34），可推出最小二乘核估計的非參數(shù)分量偏差如下： ? ?? ?1k k k k kb ia s s E s s S I B J B J s s?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?1k k kS I B J B J I s?? ? ? （ 37） 三、估計量的方差 方差的定義式為 TD X E X X E X X? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ 38） 模型為 L BX s? ? ??， 根據(jù)式（ 31）、式（ 33）和 方差定義式解得半?yún)?shù)最小二乘核估計參數(shù)分量的方差為： ? ? ? ?11k k k k k kE X X X J B J s J B J L?? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?11k k k kX J B J s J B J B X s??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1k k k k k k k kX J B J s J B J B X J B J s J B J? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1kkJ B J??? ? （ 39） Tk k k k kD X E X X E X X? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 1T TTk k k k k k k kJ B J J B J J B J J J B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1120 Tk k k kJ B J Q J J B? ??? （ 310） 在式（ 310）中， 1QP?? 。 最小二乘核估計估計量的性質(zhì) 一、估計量的期望 根據(jù)第二章最小二乘核估計結(jié)果（ 217）和式（ 218），設(shè) ? ? ? ?TTk k kJ B I S P I S? ? ?，此時最小二乘核估計非參數(shù)分量和參數(shù)分量的結(jié)果可以分別簡化為： ? ? 1k k kX J B J L? ?? （ 31） k k ks S L B X?????????? （ 32） 則式（ 31）和式（ 32）的數(shù)學(xué)期望為，由于 ? ?E L BX s??，則有： ? ? ? ? ? ? ? ?11k k k k kE X J B J E L J B J B X s? ???? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?1 1 1k k k k k kJ B J B X J B J s X J B J s? ? ?? ? ? ? （ 33） ? ?k k k k kE s S E L B X S E L B E X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11k k k k k kS I B J B J BX s S I B J B J s??? ? ? ? ? （ 34） ? ? ? ?k k k k kE V B E X E s E L B E X E s B X s? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1k k kS I I B J B J s?? ? ? （ 35） 二、估計量的偏差 有偏估計是針對無偏估計來說的，就是指未知參數(shù) X 與其估值 X? 的數(shù)學(xué)期望不滿足 中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 13 ^()E X X? ；而經(jīng)典平差模型的結(jié)果都是無偏估計。在第二章中，不管是通過理論推導(dǎo)還是算例，都證明窗寬參數(shù)的選取的恰當(dāng)與否直接影響了估計結(jié)果的準確度和精確度，因此，在半?yún)?shù)核估計中，窗寬參數(shù)的選取很重要。 2 。 有學(xué)者提出用特定的光滑矩陣 S 替代式（ 228）中的帽子矩陣 ? ? 1TTH H PH H P? 。 最小二乘核估計 兩步估計的典型例子是最小二乘核估計。單從定義式來看，核估計在每一個觀察點iX 都會一個“碰撞”。除上述核估計之外，還有其他形式的核權(quán)函數(shù)： 中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 8 )(iWtS =ikni i LtW )(?=nh1iniik Lh ttK )(1??? （ 25） )(iWtS =ikni i LtW )(?=iikiini LhttKhtt )()( 12?? ??? （ 26） 在核估計中，如何確定核函數(shù) ()K? ， 一般要考慮實際應(yīng)用情況， ()K? 是定義在 R 上的概率密度函數(shù)，一般為以下九種函數(shù)： 1 1/ 2() 0Kx ???? ? ?? ?11xx?? （ 27） 2 1() 0xKx ????? ? ?? ?11xx?? （ 28） 23 21( ) e x p 22 xKx ??? ???????? （ 29） ? ? 124 ( ) 1K x x? ??????? （ 210） ? ?253 1() 40xKx ? ??? ??? ? ?? ?11xx?? （ 211） ? ?22615 1() 160xKx ? ??? ??? ? ?? ?11xx?? （ 212） ? ?32735 1() 320xKx ? ??? ??? ? ?? ?11xx??