【正文】 已經(jīng)做了一些研究，并取得了一定的成果 ： Engle[1]， Greenamp。一是因?yàn)橛绊懹^測(cè)值的因素眾多，往往無(wú)法全面得考慮到所有的影響因素；其二是由于參數(shù)與觀測(cè)量的函數(shù)關(guān)系較為復(fù)雜，只 是用簡(jiǎn)單的線性模型來(lái)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行近似描述往往也是不精確的。 ()iis st? ， ??st 為某一函數(shù)空間上的關(guān)系未知函數(shù)；12[ , ,..., ]T T T TnB b b b? 為代表了參數(shù)關(guān)系，是一個(gè) 1n? 維列滿秩矩陣；觀測(cè)誤差向量12[ , ,..., ]Tn? ? ? ? ?為 1n? 維向量。因此，稱(chēng)這樣的一組 nf 為未知函數(shù) ()fx的核估計(jì)。 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 9 可以看出，在半?yún)?shù)核估計(jì)中隨著核權(quán)函數(shù) )(ki tW 和核函數(shù) ??K? 的變化會(huì)產(chǎn)生不同的估計(jì)結(jié)果，因此在解決實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行核估計(jì)時(shí)，我們要根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)。, , , Th h hg n n n n gs W W W L B X?????? ???? （ 233） 這種估計(jì)方法是由 GreenJennnisonSeheult()（ 1985）提出來(lái)的，因此 gx? 與 gs? 又稱(chēng)為 估計(jì)。 根據(jù)式（ 32）、式（ 34）和 方差計(jì)算式（ 38）解得最小二乘核估計(jì)非參數(shù)分量的方差為： ? ?? ?1k k k k k k kE s s S I B J B J s S L B X? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?11k k k k k kS I B J B J s S L B J B J L??? ? ? ? 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 14 ? ?? ? ? ?? ? ? ?11k k k k k kS I B J B J s S I B J B J BX s??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?k k k k k kS I B J B J BX S I B J B J? ? ? ? ? ? ? ?? ?1k k kS I B J B J?? ? ? ? （ 311） Tk k k k kD s E s s E s s? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?11 Tk k k k k kS I B J B J S I B J B J??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?11 TTTk k k k k kS I B J B J I B J B J S??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1120 T Tk k k k k kS I B J B J Q I B J B J S? ??? ? ? （ 312） 四、估計(jì)量的均方誤差 設(shè) X? 為未知參數(shù) X 的估值，則定義均方誤差 MSE 為 TM S E X E X X X X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? （ 313） 上式（ 313）可分解為 2M S E X tr D X E X X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? Ttr D X tr E X X E X X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? （ 314） 由式（ 33）可得， ? ?? ? ? ?? ?11T Tk k k k k kE X X E X X X J B J s X X J B J s X?? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?11TTk k k kJ B J ss J J B??? （ 315） 根據(jù)式（ 310）和式（ 315），然后再通過(guò)均方誤差定義式（ 313），可得半?yún)?shù)最小二乘核估計(jì)參數(shù)分量的均方誤差為： Tk k k kM S E X tr D X tr E X X E X X? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 1 120 T T Tk k k k k k k ktr J B J QJ J B tr J B J ss J J B? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?1120 TTk k k ktr J B J Q ss J J B??????? （ 316） 由式（ 34），可得： 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 15 TkkE s s E s s??? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?11 Tk k k k k kS I B J B J s s S I B J B J s s??? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? TTk k k k k kS I B J B J I ss S I B J B J I? ? ? ? ? （ 317） 根據(jù)式（ 312）和式（ 317），然后再通過(guò)均方誤差公式（ 358），可得半?yún)?shù)最小二乘核估計(jì)非參數(shù)分量的均方誤差為： Tk k k kM S E s tr D s tr E s s E s s? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ?1120 T Tk k k k k ktr S I B J B J Q I B J B J S? ????? ? ????? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? TTk k k k k ktr S I B J B J I s s S I B J B J I? ? ? ? ? （ 318） 167。為了與上一節(jié)的最小二乘估計(jì)結(jié)果進(jìn)行區(qū)分，因此在本文中對(duì)于偏核光滑估計(jì)中的光滑矩陣用 gS 來(lái)代替，所以其解可記作為： ? ? 1TTggX B P B B P L s??? ???????? （ 229） 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 11 g g gs H S L B X?? ? ???? ? ????? （ 230） 由式（ 229）和式（ 230）可得： ? ?? ? ? ?1TTg g gX B P I S B B P I S L? ?? ? ? （ 231） g g gs S L B X?????????? （ 232） 假設(shè)取 ? ? ? ?? ?。 核權(quán)函數(shù)是一種最重要的權(quán)函數(shù)，對(duì)于如何選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)以用于特定的問(wèn)題中，對(duì)這個(gè)問(wèn)題可以從大樣本理論的觀點(diǎn)得出一些一般性的指導(dǎo)原則。在小樣 本的情況下，選取不同的核權(quán)函數(shù)，不同的核函數(shù)，估計(jì)結(jié)果也就不一樣，不同的核估計(jì)方法有不同的特點(diǎn)，因而兩種半?yún)?shù)核估計(jì)方法也有各自的適用范圍。在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中， 目前有研究的主要是基于補(bǔ)償最小二乘準(zhǔn)則的光滑樣條估計(jì)，而近鄰估計(jì)、小波估計(jì)、二階段估計(jì)、分塊多項(xiàng)式估計(jì)、核估計(jì)、三角級(jí)數(shù)估計(jì)等其他估計(jì)方法卻沒(méi)有進(jìn)行深入探討。而我們所用的經(jīng)典平差模型是高斯一馬爾柯夫模型，具體形式如下： 函數(shù)模型： （ 11） 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 3 隨機(jī)模型： （ 12） 在上述平差模型中，觀測(cè)值只包含參數(shù)分量，表現(xiàn)為參數(shù)分量的線性形式，但是這種平差模型求解有一個(gè)前提條件：觀測(cè)值只含 有偶然誤差。 模擬算例 ....................................................................................................... 21 167。因此，最佳窗寬選擇的標(biāo)準(zhǔn)必須在核估計(jì)的偏 差和方差之間進(jìn)行權(quán)衡。 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題目： 半?yún)?shù)核估計(jì)理論及應(yīng)用 摘 要 現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，為測(cè)繪科學(xué)提供了一個(gè)良好的發(fā)展機(jī)遇，同時(shí)也對(duì)測(cè)繪科學(xué)提出了更高的要求。 第四章對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行了概述，介紹了系統(tǒng)誤差相關(guān)特性。 在坐標(biāo)系換算中的應(yīng)用 .................................................................................. 24 第五章 結(jié)論與展望 ...................................................................................................... 26 致謝 ............................................................................................................................. 27 參考文獻(xiàn) ...................................................................................................................... 28 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士學(xué)位論文 1 第一章 緒論 167。在這種理想情況下，偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，運(yùn)用最小二乘準(zhǔn)則，最終解得參數(shù)分量的解，根據(jù)其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可以驗(yàn)證參數(shù)解的偏差為零，即為無(wú)偏估計(jì)量。 到目前為止，在測(cè)繪界中對(duì)半?yún)?shù)平差模型研究具體主要分為以下兩種： （ 1）附加系統(tǒng)參數(shù)的半?yún)?shù)平差模型： L Bx S? ? ?? （ 14） 上式中，觀測(cè)值 L 為 n 維列向量，參數(shù)向量 x 為 t 維列向量， t 為是經(jīng)典平差模型中求得唯一解的必需觀測(cè)數(shù)， B 代表了參數(shù)分量的關(guān)系，是一個(gè)列滿秩矩陣，觀測(cè)誤差向量 ?為 n 維列向量， n 維未知向量 12[ , ,..., ]TnS S S S? 是描述了模型誤差或者觀測(cè)中的系統(tǒng)誤差。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們?cè)谂袛嗪凸烙?jì)一個(gè)數(shù)學(xué)模型的主要思想就是用從總體樣本中所隨機(jī)抽取的部分樣本來(lái)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，而本文研究的核估計(jì)就是來(lái)源于這種思想。 Watson 與 Nadaraja(1964)提出了一種適合非參數(shù)模型的核函數(shù) ，即選定 R 空間上的核函數(shù) ()K? (一般為概率密度 )，核權(quán)函數(shù)的定義為： ? ? ? ?? ?? ?? ?111kiik nkjjK t t hWtK t t h??????? , , 1, ,i j k n? （ 23） 則 )(its 的權(quán)函數(shù)估計(jì) )(iWtS 可表示為： )(iWtS = ikni i LtW )(?= 11()()nkiiinkjjttKh LttKh?????? （ 24） 這種核估計(jì)被稱(chēng)為 WastonNadaraja 核