【導讀】學提出了更高的要求。首先由于現(xiàn)代測量儀器發(fā)展和觀測數(shù)據(jù)的復雜性，測繪學界對測量。則失效，最終導致沒有明確了解的觀測值部分系統(tǒng)誤差影響無法消除等。解決許多的實際問題，具有更強的模型解釋能力和適應能力。半?yún)?shù)模型估計能夠很好的處理系統(tǒng)誤差和粗差，并且能分離出系統(tǒng)誤差和粗差，提供更加可靠的解算成果。本文主要研究半?yún)?shù)的最小二乘核估計和偏核光滑估計，通過解算其參數(shù)。核估計；著重介紹了半?yún)?shù)核估計理論方面的國內(nèi)國外研究現(xiàn)以及本文研究的內(nèi)容。計中，樣本的大小，核函數(shù)的選取以及窗寬參數(shù)共同決定了核估計性能的好壞。計性質(zhì)包括期望、方差、偏差、均方誤差。起到一個平滑因子的角色，它的選擇好壞對估計量的性質(zhì)影響很大。最佳窗寬選擇的標準必須在核估計的偏差和方差之間進行權(quán)衡。第四章對測量誤差進行了概述，介紹了系統(tǒng)誤差相關(guān)特性。顯提高估計效果。差，取得較高精度。

　　

【正文】 （ 229） 中國地質(zhì)大學（武漢）學士學位論文 11 g g gs H S L B X?? ? ???? ? ????? （ 230） 由式（ 229）和式（ 230）可得： ? ?? ? ? ?1TTg g gX B P I S B B P I S L? ?? ? ? （ 231） g g gs S L B X?????????? （ 232） 假設(shè)取 ? ? ? ?? ?。hg n i i nnS S h W t ???，則稱（ 231）式的估計為偏核光滑估計，則此時的非參數(shù)分量 ??st 的估計為： ? ?。1 。 2 。, , , Th h hg n n n n gs W W W L B X?????? ???? （ 233） 這種估計方法是由 GreenJennnisonSeheult()（ 1985）提出來的，因此 gx? 與 gs? 又稱為 估計。 和 節(jié)介紹的兩種核估計方法雖然某些思想不同，但最終都是基于最小二乘準則下的對半?yún)?shù)模型所作的理論方法研究，所以從某些意義上來說，最小二乘準則是所有測量數(shù)據(jù)處理中應用最為廣泛的原則，不管是何種平差模型，我們都將可以將其運用最小二乘思想求解。 中國地質(zhì)大學（武漢）學士學位論文 12 第三章 估計量的統(tǒng)計性質(zhì)和窗寬參數(shù)的選取 在本章中主要推導了估計量的統(tǒng)計性質(zhì)和討 論窗寬參數(shù)的選取問題。在第二章中，不管是通過理論推導還是算例，都證明窗寬參數(shù)的選取的恰當與否直接影響了估計結(jié)果的準確度和精確度，因此，在半?yún)?shù)核估計中，窗寬參數(shù)的選取很重要。半?yún)?shù)核估計量的統(tǒng)計性質(zhì)主要包括半?yún)?shù)非參數(shù)和參數(shù)分量的估值偏差、估值期望、估值均方誤差以及估值方差。這些統(tǒng)計性質(zhì)是平差模型的精度評定，模型的適用范圍確定等問題的依據(jù)和基礎(chǔ)。 167。 最小二乘核估計估計量的性質(zhì) 一、估計量的期望 根據(jù)第二章最小二乘核估計結(jié)果（ 217）和式（ 218），設(shè) ? ? ? ?TTk k kJ B I S P I S? ? ?，此時最小二乘核估計非參數(shù)分量和參數(shù)分量的結(jié)果可以分別簡化為： ? ? 1k k kX J B J L? ?? （ 31） k k ks S L B X?????????? （ 32） 則式（ 31）和式（ 32）的數(shù)學期望為，由于 ? ?E L BX s??，則有： ? ? ? ? ? ? ? ?11k k k k kE X J B J E L J B J B X s? ???? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?1 1 1k k k k k kJ B J B X J B J s X J B J s? ? ?? ? ? ? （ 33） ? ?k k k k kE s S E L B X S E L B E X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11k k k k k kS I B J B J BX s S I B J B J s??? ? ? ? ? （ 34） ? ? ? ?k k k k kE V B E X E s E L B E X E s B X s? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1k k kS I I B J B J s?? ? ? （ 35） 二、估計量的偏差 有偏估計是針對無偏估計來說的，就是指未知參數(shù) X 與其估值 X? 的數(shù)學期望不滿足 中國地質(zhì)大學（武漢）學士學位論文 13 ^()E X X? ；而經(jīng)典平差模型的結(jié)果都是無偏估計。但是在模型誤差或者系統(tǒng)誤差存在且不可避免的情況下，只能選擇恰當?shù)墓烙嫹椒ㄊ沟迷诰哂休^少條件數(shù)時最終估計值的均方誤差也較小，所以在有偏估計在一定情況下是一種更為準確的參數(shù)估計方法。 由 所計算的半?yún)?shù)的兩種核估計的期望可知，這兩種核估計的非參數(shù)分量和參數(shù)分量的結(jié)果都是有偏的。這里將分別推導出非參數(shù)和參數(shù)估計量的偏差。 根據(jù)式（ 33），可推出半?yún)?shù)最小二乘核估計的參數(shù)分量偏差如下： ? ? ? ?11k k k k k kb ia s X E X X X J B J s X J B J s?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 36） 和式（ 34），可推出最小二乘核估計的非參數(shù)分量偏差如下： ? ?? ?1k k k k kb ia s s E s s S I B J B J s s?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?1k k kS I B J B J I s?? ? ? （ 37） 三、估計量的方差 方差的定義式為 TD X E X X E X X? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? （ 38） 模型為 L BX s? ? ??， 根據(jù)式（ 31）、式（ 33）和 方差定義式解得半?yún)?shù)最小二乘核估計參數(shù)分量的方差為： ? ? ? ?11k k k k k kE X X X J B J s J B J L?? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?11k k k kX J B J s J B J B X s??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1k k k k k k k kX J B J s J B J B X J B J s J B J? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1kkJ B J??? ? （ 39） Tk k k k kD X E X X E X X? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 1T TTk k k k k k k kJ B J J B J J B J J J B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1120 Tk k k kJ B J Q J J B? ??? （ 310） 在式（ 310）中， 1QP?? 。 根據(jù)式（ 32）、式（ 34）和 方差計算式（ 38）解得最小二乘核估計非參數(shù)分量的方差為： ? ?? ?1k k k k k k kE s s S I B J B J s S L B X? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?11k k k k k kS I B J B J s S L B J B J L??? ? ? ? 中國地質(zhì)大學（武漢）學士學位論文 14 ? ?? ? ? ?? ? ? ?11k k k k k kS I B J B J s S I B J B J BX s??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?k k k k k kS I B J B J BX S I B J B J? ? ? ? ? ? ? ?? ?1k k kS I B J B J?? ? ? ? （ 311） Tk k k k kD s E s s E s s? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?11 Tk k k k k kS I B J B J S I B J B J??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?11 TTTk k k k k kS I B J B J I B J B J S??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1120 T Tk k k k k kS I B J B J Q I B J B J S? ??? ? ? （ 312） 四、估計量的均方誤差 設(shè) X? 為未知參數(shù) X 的估值，則定義均方誤差 MSE 為 TM S E X E X X X X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? （ 313） 上式（ 313）可分解為 2M S E X tr D X E X X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? Ttr D X tr E X X E X X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? （ 314） 由式（ 33）可得， ? ?? ? ? ?? ?11T Tk k k k k kE X X E X X X J B J s X X J B J s X?? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?11TTk k k kJ B J ss J J B??? （ 315） 根據(jù)式（ 310）和式（ 315），然后再通過均方誤差定義式（ 313），可得半?yún)?shù)最小二乘核估計參數(shù)分量的均方誤差為： Tk k k kM S E X tr D X tr E X X E X X? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 1 120 T T Tk k k k k k k ktr J B J QJ J B tr J B J ss J J B? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?1120 TTk k k ktr J B J Q ss J J B??????? （ 316） 由式（ 34），可得： 中國地質(zhì)大學（武漢）學士學位論文 15 TkkE s s E s s??? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?11 Tk k k k k kS I B J B J s s S I B J B J s s??? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? TTk k k k k kS I B J B J I ss S I B J B J I? ? ? ? ? （ 317） 根據(jù)式（ 312）和式（ 317），然后再通過均方誤差公式（ 358），可得半?yún)?shù)最小二乘核估計非參數(shù)分量的均方誤差為： Tk k k kM S E s tr D s tr E s s E s s? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ?1120 T Tk k k k k ktr S I B J B J Q I B J B J S? ????? ? ????? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? TTk k k k k ktr S I B J B J I s s S I B J B J I? ? ? ? ? （ 318） 167。 半?yún)?shù)偏核光滑估計量的性質(zhì) 一、估計量的方差 根據(jù)第二章半?yún)?shù)偏核光滑估計