【正文】 的基本模型。再次，當(dāng)時(shí)除了狄莫弗，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家對(duì)于概率論的研究都不是非常的感興趣，他所得到幫助非常少。 在他 18 歲的發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布定理和最小二乘法。拉普拉斯沒有把這個(gè)成果用到誤差分布上，而高斯做到了， 高斯 創(chuàng)造性把 正態(tài)分布 和 中心極限定理 聯(lián)系在了一起 ， 演化出了新的 中心極限定理，其中就包含 正態(tài)分布。在古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期的概率論發(fā)展史非常孤單的，與統(tǒng)計(jì)學(xué)的交流也非常少，概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)的水乳交融沒有真正的實(shí)現(xiàn)。由于他首創(chuàng)地在人口統(tǒng)計(jì)中使用到了概率論的知識(shí)，用數(shù)學(xué)知識(shí)理論研究人口問題，使得人口調(diào)查和人口統(tǒng)計(jì)有了新的發(fā)展。高爾頓又做了一個(gè) — 豌豆試驗(yàn)， 他 發(fā)現(xiàn)： 只要種子的大小是相同的，這些種子所產(chǎn)出的果實(shí)依舊符合正態(tài)分布，子代各個(gè)數(shù)據(jù)的平均值和母代有一定的聯(lián)系，并且非常地接近母代的平均值，基本上與一般平均值相符合，這個(gè)實(shí) 驗(yàn)基本回答了高爾頓第二點(diǎn)的疑惑。通過圖像可知 圖 的圖像比圖 像 右移了一點(diǎn)， 正態(tài)分布中 ? 對(duì)圖像的影響就是 ? 越大圖像越往右移，而在這兩個(gè)班中 1? 2? ：圖 的圖像 更陡尖， ， 正態(tài)分布中 2? 對(duì)圖像的影響就是 2? 越小圖像就越 陡尖，而在這兩個(gè)班中 21? 22? 。在這個(gè)過程中我們不僅見證了正態(tài)分布的發(fā)展而且了解了整個(gè)社會(huì)大環(huán)境的進(jìn)步與變遷。 3. 假如正常人和病人的某一項(xiàng)指標(biāo)有交叉，則診斷有可能會(huì)有誤差。如果曲線比較平或 者比較偏某一邊，明顯 的不對(duì)稱，那這次考試的情況可能就顯示不正常 。 高爾頓相信正態(tài)分布適用于自然，社 會(huì)中的所有問題，在所有問題中，它都有它的適用性。由此提出了“平均 人”學(xué)的說法 ， 他認(rèn)為在社會(huì)上的人概況起來都有一個(gè)平均值 ， 每個(gè)人都按照平均值上下波動(dòng) 。 同時(shí)他認(rèn)為 ，只要基本誤差互相獨(dú)立 的 ， 所有的基本誤差的方差對(duì) 誤差和的方差 有著 支配作用， 那么此時(shí)我們就認(rèn)為 正態(tài)分布 就是 實(shí)際誤差的分布 ，誤差非常小可以忽略不計(jì)。 [5] 3． 2． 2 高斯分布 在數(shù)學(xué)界我們把高斯稱為“數(shù)學(xué)王子 ，高斯一生的研究涉及到很多的領(lǐng)域甚至他開創(chuàng)了許多新的領(lǐng)域。后來辛普森對(duì)誤差問題的研究也并沒有取得很多的進(jìn)展。從這開始，在 拉普拉斯 等其他學(xué)者的共同發(fā)展下， 中心極限定理 最終形成，稱為 狄莫弗拉普拉斯中心極限定理 :[3] 設(shè)隨機(jī)變量 X_n 服從參數(shù)為 p 的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意的 x, 恒有 狄莫 弗 在二項(xiàng)分布的 推算 中 只看到 正態(tài)曲線的 外貌 ， 他未能真正看到這條曲線的迷人之處，他的研究也到此為止了。南特法令別摒除后，他為求生計(jì)，去了英國倫敦。 【關(guān)鍵詞】 正態(tài)分布 狄莫弗 拉普拉斯 高斯 凱特萊 東海科學(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 II Development and Application of the Normal Distribution Fengjie xue (Department of mathematics physics and information, Donghai Science amp。第二個(gè)階段 是 18 世紀(jì)中葉 正態(tài)分布的模型建立， 在天文學(xué)發(fā)展的刺激下， 數(shù)學(xué)家拉普拉斯， 高斯 對(duì)于正態(tài)分布又有了新的拓展 ，讓人們逐漸認(rèn)識(shí)到了其在天文，誤差領(lǐng)域的應(yīng)用。 狄莫弗 的父親是一位醫(yī)生，他父親對(duì)他的影響很大，后來他進(jìn)入到一間天主教學(xué)習(xí) 念書。 當(dāng)時(shí)在英國的 狄莫弗 通過學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)有了極大的興趣，尤其是對(duì) 概率論 的興趣，他對(duì)概率論有著諸多的靈感，他不斷的摸索其中的奧秘。測(cè)量誤差，一個(gè)無法避免的問題，在天文的一些數(shù)據(jù)測(cè)量中，不同的測(cè)量機(jī)構(gòu)，不同測(cè)量機(jī)器，不同的測(cè)量人員等等都難免會(huì)有差異，所以測(cè)量結(jié)果頁肯定會(huì)有差異，當(dāng)去平均時(shí)可是受到的干擾最小，結(jié)果更接近真實(shí)值，測(cè)量值有誤差，但基本都在真實(shí)值附近。他非常喜歡用歸納和類比的研究方法，是一位分析學(xué)大師。他的 這么做的原因就是我們雖檢測(cè)到的誤差出現(xiàn)的原因 。他 覺得人口動(dòng)波動(dòng)的原因有 自然 的原因以及 擾亂 的原因。 凱特萊 通過他的努力使統(tǒng)計(jì)學(xué)得到各個(gè)領(lǐng)域的關(guān)注，使理論的完善和新理論的誕生有著不可磨滅的作用。 學(xué)校 在一次體檢中檢測(cè)了 300 名高一女生的身高，測(cè)得的平均升高為 159..23cm，通過計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差為 ,如何來 估計(jì)身高在 ~ 的高一女生的比例及人數(shù)？由于人的 身 高我們可以認(rèn)為它是一個(gè)正態(tài)分布，它符合正態(tài)分布曲線，所以我們可以通過正態(tài)分布公式來解決這一問題。百分位數(shù)法：適用于偏態(tài)分布數(shù)據(jù)或類型不明確的資料。同時(shí)正態(tài)曲線非常清楚地展示了重點(diǎn)，它的中間部分占了大量的面積，使我們懂得在日常生活中一定要抓住重點(diǎn)解決問題。如若某次考試的均值很 ? 大， 90 多分，那么可能這次考試的題目較簡(jiǎn)單，同學(xué)答的都很好或者教師的教授水平很高。此后這項(xiàng)工作隨概率論一起， 在 后人近一步 的發(fā)展 ，概率論才真正成為一門演繹的數(shù)學(xué) 理論 ，為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的形成奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。 1826 年， 凱特萊成為比利時(shí)國家統(tǒng)計(jì)局的地區(qū)通信員 ，他的工作大多與統(tǒng)計(jì)相關(guān)。首次把概率論的應(yīng)該擴(kuò)張到社會(huì)生活方面，最典型的例子就是概率論在人口統(tǒng)計(jì)上的應(yīng)用，拉普拉斯所做的貢獻(xiàn)是他在繼承前人理論知識(shí)的基礎(chǔ)上又進(jìn)行了一次偉大的創(chuàng)新。因?yàn)?，高?從算術(shù)平均的 優(yōu)良 性出發(fā) 的，推 導(dǎo)出誤差肯定服從正態(tài)分布；反之 ， 又 由 誤差服從正態(tài)分布得出 算術(shù)平均 和 最小二乘估計(jì)的優(yōu)良性 。 這一 函數(shù)被命名為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 在概率計(jì)算中 被 大量使用 。到了 18 世紀(jì)，數(shù)學(xué) 有了一個(gè)變化，人們研究數(shù)學(xué)是為了解決生活中的問題 。概率論 發(fā)源于 賭博 活動(dòng)中 ， 概率論的發(fā)展推動(dòng)者統(tǒng)計(jì) 學(xué)的進(jìn)步 ，而統(tǒng)計(jì) 學(xué)的進(jìn)步尤為概率論的世紀(jì)應(yīng)用找到了方向。 在正態(tài)分布的 面積 中，曲線與橫軸上的面積表示該區(qū)占總數(shù)的比例或者是某一事件發(fā)生的概率，各個(gè)范圍均可用正態(tài)公式計(jì)算。東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 I 正態(tài)分布的發(fā)展 及應(yīng)用 摘 要 生活中諸多的經(jīng)驗(yàn)和理論都表明，我們所處的環(huán)境中服從正態(tài)分布的事件是極其常見的。 正態(tài)分布的密度函數(shù) 是對(duì)稱函數(shù)，他的對(duì)稱軸為 ? ，在 ? 上去的整個(gè)函數(shù)的最大值，在正負(fù)軸的無窮遠(yuǎn)處為 0，當(dāng)曲線與橫軸不相交，圖像形狀為中間高兩邊低，從最高點(diǎn) 向 兩邊均勻下降。 2． 1 古典統(tǒng)計(jì)時(shí)期的概率論 概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)是一對(duì) 兄弟 學(xué)科， 兩門學(xué)科一同形成完善 ， 共同創(chuàng)新并影響著，你中有我，我中有你 。 東海科學(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 6 布的重新出發(fā) 人們對(duì)事物的檢測(cè)，無可避免或多或少總會(huì)出現(xiàn)一些誤差，不管是檢測(cè)哪方面的，人們很早就知道了這一點(diǎn)，不過對(duì)檢測(cè)結(jié)果的不確定性，人們總是不清楚，看法始終不能一致。在 這些基礎(chǔ)之上，高斯隨后專注于曲面與曲線的計(jì)算，并成功得到高斯鐘形曲線 ， 正態(tài)誤差理論 正式被提出 ， 在 70 年后 狄莫弗 推導(dǎo)出來的式子進(jìn)入了概率的家庭中 。 這 理論 對(duì)于給正態(tài)誤差論一個(gè) 非常合理 、 非東海科學(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 8 常令人相信的解釋有巨大的 意義。拉普拉斯首次提出了 概率的古典定義， 他把一些概率論的理論做為 基本理論，在此對(duì) 中心極限定理 進(jìn)行證明，進(jìn)一步完備了 觀測(cè)誤差理論 （其中含有 最小二乘法 ）。 [10] 東海科學(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 10 4． 2 凱特萊對(duì)正態(tài)曲線的拓展 18 世紀(jì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析問題主要是二項(xiàng)分布，狄莫弗引入的正態(tài)分布并沒有別當(dāng)時(shí)所注意 ；到了 19 世紀(jì)初， 由于 拉普拉斯 的 中心極限定理 ， 高斯 的 正態(tài)誤差理論，正態(tài)分布 逐步有了它發(fā)回的機(jī)會(huì)，但是真正把正態(tài)分布拓展出去的是 凱特萊 ，他把正態(tài)分布應(yīng)用到天文，地理，物理，數(shù)學(xué)，生物，社會(huì)等各個(gè)領(lǐng)域，凱特萊把 正態(tài)曲線 推廣到 誤差理論應(yīng)用到新的領(lǐng)域 和他所提出的 “平均人”的概念 中 。 東海科學(xué)技術(shù)學(xué)院畢業(yè)論文 12 5. 現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)中的正態(tài)分布 從 19 世紀(jì)期 起，以契比雪夫、馬爾可夫 等為代表的俄羅斯學(xué)派， 通過引入隨機(jī)變量 的概念，建立了隨機(jī)變量的 獨(dú)立非獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)，以及收斂到正態(tài)分布的充要 條件，從而 在 大數(shù)定律和中心極限定理上 實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性 。 如若某次考試的均值 ? 很小，得低分的學(xué)生特別多，的高分的學(xué)生特別少，那么可以認(rèn)為此次考試的試題比較偏難，學(xué)生答題的情況不好。在正態(tài)分布中我們體會(huì)到了要用整體的眼光看待問題，整個(gè)曲線是一個(gè)整體，用整體的眼光才能看到事物的的本質(zhì)，才能得到結(jié)論，若值看到一部分就可能以偏概全。 在實(shí)際使用正常值的時(shí)候贏注意 1. 如果某人的某項(xiàng)指標(biāo)不在正常值的范圍內(nèi)，他不一定是 病人。 設(shè)均值 ? =, 2? =,變量為 x P{x155}=p{ ? 155 ? }= 155 ???????? = ? ?1?? =1 ??1? == P{x160}=P{ ? 160 ? }= 16