期權(quán)一個(gè)套利定價(jià)的例子(文件)
【正文】 樹過程來表示 ?首先，我們要求上面給出的股票和無風(fēng)險(xiǎn)證券的價(jià)格過程不存在套利機(jī)會(huì)。因此有 ；同理可得 。 ?在二叉樹模型中，由于只有兩個(gè)狀態(tài)，股票和債券使得證券市場(chǎng)完全化，其他證券都成了冗余證券。到期日期權(quán)的價(jià)值為 ?現(xiàn)在考慮一個(gè)組合有股票和債券的組合： 份股票和 份債券。無套利原理要求期權(quán)的價(jià)格 必須等于 ： 1v ? 1,u S Bv uS S uS??? ? ?1,d S Bv dS S dS? ? ?? uuvc?dd? ? ? ? ?,u d d uSBc c uc dcu d S u d?? ??????0t ? ? ?1S B Fv S r??? ? ?cv ?這恰恰就是 ()式。所以， 和 在等價(jià)鞅測(cè)度 下是鞅。它是無套利原理在衍生證券定價(jià)中的一個(gè)重要應(yīng)用。從這個(gè)意義上講，蝴蝶頭寸和狀態(tài)或有證券的支付形式類似。 ?引入以狀態(tài)指數(shù)證券為標(biāo)的證券的歐式看漲期權(quán)。 。 ?這 只證券的支付矩陣為 ?1 1 2 1, , ,X X X ???X ?1X23XX?0 21XX?311? ?0 32? 2? ? 1XX? ? ??00?顯然， 滿秩。 ?簡(jiǎn)單起見，假設(shè)在狀態(tài) 時(shí)狀態(tài)分離證券的支付分別為 。所有這些期權(quán)的支付矩陣為： ?考慮如下看漲期權(quán)組合的支付向量： ?買入 份執(zhí)行價(jià)為 的看漲期權(quán) n?,nX ? ?00201X???? ? ??????????? ? ???1 0?賣出 份執(zhí)行價(jià)為 的看漲期權(quán) ?買入 份執(zhí)行價(jià)為 的看漲期權(quán) ?這是一個(gè)“蝴蝶頭寸”，它的支付為： ?這是 份狀態(tài) 或有證券，因?yàn)橹挥袪顟B(tài) 時(shí)支付才為 而其他狀態(tài)的支付為 。 0 。 0 。 ?記 為狀態(tài) 的狀態(tài)價(jià)格。美式期權(quán)允許購(gòu)買者在到期日以及之前的任意日期行權(quán)。 , March 27, 2023 ? 雨中黃葉樹，燈下白頭人。 :41:0605:41:06March 27, 2023 ? 1他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國(guó)見青山。 2023年 3月 27日星期一 5時(shí) 41分 6秒 05:41:0627 March 2023 ? 1做前，能夠環(huán)視四周；做時(shí)，你只能或者最好沿著以腳為起點(diǎn)的射線向前。 :41:0605:41Mar2327Mar23 ? 1世間成事，不求其絕對(duì)圓滿，留一份不足，可得無限完美。 。 , March 27, 2023 ? 閱讀一切好書如同和過去最杰出的人談話。勝人者有力，自勝者強(qiáng)。 2023年 3月 27日星期一 5時(shí) 41分 6秒 05:41:0627 March 2023 ? 1一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。 2023年 3月 27日星期一 上午 5時(shí) 41分 6秒 05:41: ? 1最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。 :41:0605:41Mar2327Mar23 ? 1越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯(cuò)兒。 2023年 3月 27日星期一 5時(shí) 41分 6秒 05:41:0627 March 2023 ? 1空山新雨后，天氣晚來秋。 :41:0605:41:06March 27, 2023 ? 1意志堅(jiān)強(qiáng)的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。 , March 27, 2023 ? 很多事情努力了未必有結(jié)果，但是不努力卻什么改變也沒有。 。 :41:0605:41Mar2327Mar23 ? 1故人江海別，幾度隔山川。 ? ： ? 時(shí)，利用無套利原理，可以用原生證券（即標(biāo)的證券和債券）的價(jià)格為期權(quán)定價(jià)（二叉樹期權(quán)定價(jià)模型）；當(dāng)期權(quán)不是冗余證券時(shí)，期權(quán)可以增進(jìn)證券市場(chǎng)的完全性。任意支付為 的資產(chǎn)，其價(jià)格應(yīng)為 3? ?1,ii???? ?1i ??i ?0i? i? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?111i i i i ic K c K c K c K? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?21 i i i ic K c K c K c K ?? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?Ki??? ?X?? ? ? ? ? ? ? ?2 ii i i iic K c K c K c KSX ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??由于 和 一一對(duì)應(yīng)，因此也可以用 描述狀態(tài)，所以證券的支付可以表示為 的函數(shù)，我們以 來表示證券的支付，當(dāng)指數(shù)證券是連續(xù)分布的，即可取 大于 的任一實(shí)數(shù)值，并且 二階可導(dǎo)時(shí)，我們?nèi)? ，顯然 ?于是就可以將證券定價(jià)的離散形式轉(zhuǎn)換成連續(xù)形式，即 i?iK iKK? ?XKK0??c dK? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21122 ii i i iKKc K c K c K c K cKK????? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?220cKS X K dkK? ?????我們可以用密度函數(shù)來定義風(fēng)險(xiǎn)中性概率： ?無風(fēng)險(xiǎn)債券的價(jià)格是 ?因此 ?我們?cè)俅蔚玫搅俗C券價(jià)格的鞅性質(zhì)。 0? ? ? ? ? ?? ? ?11 1? 0?類似的，由 個(gè)執(zhí)行價(jià)為 和 組成的“蝴蝶頭寸”在狀態(tài) 時(shí)的支付為 而在其他狀態(tài)的支付為 。 。 。 X 1 2 1, , ,X X X ??1?? 1 , 2 , 3 , ,? ??, 2 , 3 , 。以上討論說明， 引入期權(quán)有助于市場(chǎng)的完全化 。 。 。如果 及 ，則我們稱之為具有狀態(tài)分離的支付，并把這種證券叫做狀態(tài)指數(shù)證券 。本節(jié)，我們考慮期權(quán)不是冗余證券的情況。因此我們可以使用無套利原理，根據(jù)股票和債券的價(jià)格為期權(quán)定價(jià)。 ?給定狀態(tài)價(jià)格，我們可以定義等價(jià)鞅測(cè)度： ?并把期權(quán)定價(jià)公式重新寫成 ? ? ? ?1111FFudFr d u rc c cr u d u d? ? ? ????? ??? ? ???S? ?? ?11,1 Fud Fu d u durrdqqu d u d??? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ?定義 和 。 ?因此，這個(gè)組合與所考慮的期權(quán)具有完全相同的支付。
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