【正文】 聯(lián)分解并引入中間變量 Z， 令 若將 A陣寫為友矩陣 ， 便可得到可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)方程： )(? sG )1(21 ,),()()( ????? nn zxzxzxsDsUsZ ??1210 1 2 100 1 0 000 0 1 000 0 0 11nn nxxx u A x b uxa a a a x???? ?????? ?????? ???? ????? ? ? ??? ???? ?????? ??? ? ? ??? ????每個(gè)子系統(tǒng)的輸出方程 ： 33 每個(gè)子系統(tǒng)的輸出方程 ： 1 1 110 11 1 , 12 20 21 2 , 1 2 20 1 , 1nnq q q nq q qy x dy x dy u C x duy x d? ? ?? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 可以看到 ，單輸入， q維輸出系統(tǒng)的輸入矩陣為 q維列向量，輸出矩陣為（ q n）矩陣，故不存在其對(duì)偶形式，即 不存在可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。解 由于系統(tǒng)是單輸入 ， 多輸出的 ， 故輸入矩陣只有一列 ， 輸出矩陣有兩行 。 1) 冪級(jí)數(shù)法 :設(shè)齊次方程的解是 t的向量?jī)缂?jí)數(shù) 式中， 都是 n維向量，且 ，求導(dǎo)并考慮狀態(tài)方程，得 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng) )()( tAxtx ???? ?????? kk tbtbtbbtx 2210)(?? , 10 kbbbx 0)0( bx ?)(2)( 2210121 ????? ??????????? ? kkkk tbtbtbbAtkbtbbtx等號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等 ， 有 ??010323021201!1161312121bAkAbkbbAAbbbAAbbAbbkkk????????40 故 2211( ) ( ) ( 0 )2! kkx t I A t A t A t xk? ? ? ? ? ?定義 2201 1 12 ! !At k k k kke I At A t A t A tkk??? ? ? ? ? ? ? ?則 )0()( xetx At? 稱為矩陣指數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)稱矩陣指數(shù) ,又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為 ： 求解齊次狀態(tài)方程的問(wèn)題，核心就是計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的問(wèn)題 。即若設(shè) n階矩陣 A的特征多項(xiàng)式為 ? ? 0111)( aaaAIf nnn ??????? ?? ????? ? 則有 : 0)(0111 ?????? ?? IaAaAaAAf nnn ?42 從該定理還可導(dǎo)出以下兩個(gè)推論： 推論 1 矩陣 A的 次冪，可表為 A的（ n1）階多項(xiàng)式 ： )( nkk ?mnmmk AA ????10?)( nk ?推論 2 矩陣指數(shù) 可表為 A的（ n1）階多項(xiàng)式，即： 且各作為時(shí)間的函數(shù)是線性無(wú)關(guān)的。 ( 1 , 2 , , 1 )i i k m? ? ? ?45 例 23 已知 ，求 。通過(guò)變量代換，上式又可表示為： ??? dtBuxttx t )()()0()()( 0 ?? ????若取 作為初始時(shí)刻，則有 0t000() ()0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttA t t Atx t e x t e B u d t t x t t B u d? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ???49 2) 拉普拉斯變換法 將 式兩端取拉氏變換，有 11( ) ( 0 ) ( ) ( )( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )s X s x A X s B U sX s s I A X s I A B U s??? ? ?? ? ? ?進(jìn)行拉氏反變換有 )]()[()0()()( 1111 sBUAsILxAsILtx ???? ????例 25 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 uxxxx ????????????????????????????1032102121??12( 0) [ ( 0) ( 0) ] Tx x x?( ) 1( )u t t?且 試求在 作用下?tīng)顟B(tài)方程的解。 ( , ) 0eex f x t?? ex0x?1) 平衡狀態(tài) : 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 平衡狀態(tài)的各分量不再隨時(shí)間變化；若已知狀態(tài)方程 ， 令 所求得的解 x ,便是平衡狀態(tài) 。( 00exx ?02021100 )()( nenee xxxxxx ?????? ?3) 一致穩(wěn)定性： 通常 δ 與 ?、 t0 都有關(guān)。(l i m 00
。定常系統(tǒng)的δ 與 t0 無(wú)關(guān)，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。 2) 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 ： 如果對(duì)于任意小的 ? 0， 均存在一個(gè) ， 當(dāng)初始狀態(tài)滿足 時(shí) ，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡滿足 lim ， 則稱該平衡狀態(tài) xe 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的 ， 簡(jiǎn)稱是穩(wěn)定的 。當(dāng)采樣周期 T足夠小時(shí)，按導(dǎo)數(shù)定義有 代入（ 85a）得到離散化狀態(tài)方程 對(duì)于非線性時(shí)變系統(tǒng)，一般都是先離散化，然后再用遞推計(jì)算求數(shù)值解的方法進(jìn)行系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析。 21 ttt ??)( 21 tt ?? )()( 21 tt ??? 與)()( 21 tt ??? 與Itttttt ????????????? )0()()()()()()(t?1( ) ( ) ( 0) , ( 0) ( ) ( ) ( ) ( )x t t x x t x t t x t? ? ??? ? ? ?證明 :由性質(zhì) 3）有 根據(jù) 的這一性質(zhì)， 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，顯然有 5) )()()(1122 txtttx ???)()()()()0(),0()()( 1111111 txttxtxxttx ??????? ?)()()()()()0()()( 11211222 txtttxttxttx ?????????)(1tx )( 2tx )( 12 tt ?? 證明 ：由于 則 即由 轉(zhuǎn)移至 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 47 )( 02 tt ?? )( 12 tt ??? )( 01 tt ??6) )()()( 0022 txtttx ??? )()(( 0011 txtttx ???)()()( 1122 txtttx ??? )( 12 tt ??)( 01 tt ??? )(0tx )( 02 tt ??? )(0tx 證明：由 和 得到 )()]([ ktt k ???)()()]([ )( kteeet ktAk A tkAtk ????? ＝BAAB ? AtBtBtAttBA eeeee ??? )( 7 ) 8) 若 ，則 證明： ?????? ????????????????tttttttteeeeeeeet22222222)( At),(1??例 24 已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 ，試求 。 0? 1? 1k??Ate例 22 已知 ， 求 。 )0()()( 1 xAsIsX ???? ? )0()(L)( 11 xAsItx ?? ?? )0()( xetx At? 11= L ( )Ate sI A???????Ate例 21 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，試用拉氏變換求解。鑒于輸入矩陣只有一列，這里不能選取極點(diǎn)的留數(shù)來(lái)構(gòu)成輸入矩陣，而只能取元素全為 1的輸入矩陣。 ???????????????????14)2)(1(3)(ssssssG例 17 已知單輸入 多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 ，求其傳遞 矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)及對(duì)角型實(shí)現(xiàn)。 這里僅限于 單輸入 多輸出和 多輸入 單輸出 系統(tǒng)。設(shè)D(s)可分解為 D(s)= 式中， 為系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)可展成部分分式之和 )()(sDsN)()(sDsN)())(( 21 nsss ??? ??? ?n??? , 21 ?1( ) ( )( ) ( )n ii icY s N sU s D s s ???? ??25 而 ， 為 在極點(diǎn) 處的留數(shù) ， 且有 Y(s)= U(s) iii sssDsNc?? ??????? ?? )()()( )( )(sDsN i? ?? ?ni iisc1 ?若令狀態(tài)變量 其反變換結(jié)果為 )(1)( sUssXii ??? ni ,2,1 ??1( ) ( ) ( )( ) ( )i i iniiix t x t u ty t c x t????? ?展開(kāi)得 1 1 12 2 21 1 2 2n n nnnx x ux x ux x uy c x c x c x?????????? ? ? ?其向量 矩陣形式為 （ 其狀態(tài)變量如圖 (a)所示 ） 1 1 12 2 30 110 1n n nxxuxx???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ?1212 nnxxy c c cx???????????????26 若令狀態(tài)變量 則 Y(s)= )()( sUs csXiii ?????nii sX1)(進(jìn)行反變換并展開(kāi)有 1 1 1 12 2 2 212n n n nnx x c ux x c ux x c uy x x x?????????? ? ? ?其向量 矩陣形式為 1 1 1 12 2 3 200n n n nx x cx x cux x c???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?131 1 1nxxyx???????????????其狀態(tài)變量圖如圖 (b)所示 ，兩者存在對(duì)偶關(guān)系 對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖 如下： 27 （ a） （ b） 對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖 3） 含重實(shí)極點(diǎn)時(shí)的情況 當(dāng)傳遞函數(shù)除含單實(shí)極點(diǎn)之外還含有重實(shí)極點(diǎn)時(shí)，不僅可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，還可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程，其 A陣是一個(gè)含約當(dāng)塊的矩陣。 若動(dòng)態(tài)方程中的 具有這種形式 ， 則稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 。 uhxy 01 ??其余（ n－ １）個(gè)狀態(tài)方程如下 n個(gè)。 由題意知系統(tǒng)有三個(gè)輸出量 ， 設(shè) x? x? kxFkxVxfxm ???? )( ???fk,m,xxxx ??? 21 ,xyxxyxxy ??? ????? 32211 ,16 于是由系統(tǒng)微分方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程