【正文】 聯分解并引入中間變量 Z， 令 若將 A陣寫為友矩陣 ， 便可得到可控標準型實現的狀態(tài)方程： )(? sG )1(21 ,),()()( ????? nn zxzxzxsDsUsZ ??1210 1 2 100 1 0 000 0 1 000 0 0 11nn nxxx u A x b uxa a a a x???? ?????? ?????? ???? ????? ? ? ??? ???? ?????? ??? ? ? ??? ????每個子系統(tǒng)的輸出方程 ： 33 每個子系統(tǒng)的輸出方程 ： 1 1 110 11 1 , 12 20 21 2 , 1 2 20 1 , 1nnq q q nq q qy x dy x dy u C x duy x d? ? ?? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 可以看到 ，單輸入， q維輸出系統(tǒng)的輸入矩陣為 q維列向量，輸出矩陣為（ q n）矩陣，故不存在其對偶形式，即 不存在可觀測標準型實現。解 由于系統(tǒng)是單輸入 ， 多輸出的 ， 故輸入矩陣只有一列 ， 輸出矩陣有兩行 。 1) 冪級數法 :設齊次方程的解是 t的向量冪級數 式中， 都是 n維向量，且 ，求導并考慮狀態(tài)方程，得 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運動 )()( tAxtx ???? ?????? kk tbtbtbbtx 2210)(?? , 10 kbbbx 0)0( bx ?)(2)( 2210121 ????? ??????????? ? kkkk tbtbtbbAtkbtbbtx等號兩邊對應的系數相等 ， 有 ??010323021201!1161312121bAkAbkbbAAbbbAAbbAbbkkk????????40 故 2211( ) ( ) ( 0 )2! kkx t I A t A t A t xk? ? ? ? ? ?定義 2201 1 12 ! !At k k k kke I At A t A t A tkk??? ? ? ? ? ? ? ?則 )0()( xetx At? 稱為矩陣指數函數，簡稱矩陣指數 ,又稱為狀態(tài)轉移矩陣，記為 ： 求解齊次狀態(tài)方程的問題，核心就是計算狀態(tài)轉移矩陣的問題 。即若設 n階矩陣 A的特征多項式為 ? ? 0111)( aaaAIf nnn ??????? ?? ????? ? 則有 : 0)(0111 ?????? ?? IaAaAaAAf nnn ?42 從該定理還可導出以下兩個推論： 推論 1 矩陣 A的 次冪，可表為 A的（ n1）階多項式 ： )( nkk ?mnmmk AA ????10?)( nk ?推論 2 矩陣指數 可表為 A的（ n1）階多項式，即： 且各作為時間的函數是線性無關的。 ( 1 , 2 , , 1 )i i k m? ? ? ?45 例 23 已知 ，求 。通過變量代換，上式又可表示為： ??? dtBuxttx t )()()0()()( 0 ?? ????若取 作為初始時刻，則有 0t000() ()0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttA t t Atx t e x t e B u d t t x t t B u d? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ???49 2) 拉普拉斯變換法 將 式兩端取拉氏變換，有 11( ) ( 0 ) ( ) ( )( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )s X s x A X s B U sX s s I A X s I A B U s??? ? ?? ? ? ?進行拉氏反變換有 )]()[()0()()( 1111 sBUAsILxAsILtx ???? ????例 25 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為 uxxxx ????????????????????????????1032102121??12( 0) [ ( 0) ( 0) ] Tx x x?( ) 1( )u t t?且 試求在 作用下狀態(tài)方程的解。 ( , ) 0eex f x t?? ex0x?1) 平衡狀態(tài) : 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 平衡狀態(tài)的各分量不再隨時間變化；若已知狀態(tài)方程 ， 令 所求得的解 x ,便是平衡狀態(tài) 。( 00exx ?02021100 )()( nenee xxxxxx ?????? ?3) 一致穩(wěn)定性： 通常 δ 與 ?、 t0 都有關。(l i m 00
。定常系統(tǒng)的δ 與 t0 無關，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。 2) 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 ： 如果對于任意小的 ? 0， 均存在一個 ， 當初始狀態(tài)滿足 時 ，系統(tǒng)運動軌跡滿足 lim ， 則稱該平衡狀態(tài) xe 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的 ， 簡稱是穩(wěn)定的 。當采樣周期 T足夠小時，按導數定義有 代入（ 85a）得到離散化狀態(tài)方程 對于非線性時變系統(tǒng)，一般都是先離散化，然后再用遞推計算求數值解的方法進行系統(tǒng)的運動分析。 21 ttt ??)( 21 tt ?? )()( 21 tt ??? 與)()( 21 tt ??? 與Itttttt ????????????? )0()()()()()()(t?1( ) ( ) ( 0) , ( 0) ( ) ( ) ( ) ( )x t t x x t x t t x t? ? ??? ? ? ?證明 :由性質 3）有 根據 的這一性質， 對于線性定常系統(tǒng)，顯然有 5) )()()(1122 txtttx ???)()()()()0(),0()()( 1111111 txttxtxxttx ??????? ?)()()()()()0()()( 11211222 txtttxttxttx ?????????)(1tx )( 2tx )( 12 tt ?? 證明 ：由于 則 即由 轉移至 的狀態(tài)轉移矩陣為 47 )( 02 tt ?? )( 12 tt ??? )( 01 tt ??6) )()()( 0022 txtttx ??? )()(( 0011 txtttx ???)()()( 1122 txtttx ??? )( 12 tt ??)( 01 tt ??? )(0tx )( 02 tt ??? )(0tx 證明：由 和 得到 )()]([ ktt k ???)()()]([ )( kteeet ktAk A tkAtk ????? ＝BAAB ? AtBtBtAttBA eeeee ??? )( 7 ) 8) 若 ，則 證明： ?????? ????????????????tttttttteeeeeeeet22222222)( At),(1??例 24 已知狀態(tài)轉移矩陣為 ，試求 。 0? 1? 1k??Ate例 22 已知 ， 求 。 )0()()( 1 xAsIsX ???? ? )0()(L)( 11 xAsItx ?? ?? )0()( xetx At? 11= L ( )Ate sI A???????Ate例 21 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，試用拉氏變換求解。鑒于輸入矩陣只有一列，這里不能選取極點的留數來構成輸入矩陣，而只能取元素全為 1的輸入矩陣。 ???????????????????14)2)(1(3)(ssssssG例 17 已知單輸入 多輸出系統(tǒng)的傳遞函數矩陣為 ，求其傳遞 矩陣的可控標準型實現及對角型實現。 這里僅限于 單輸入 多輸出和 多輸入 單輸出 系統(tǒng)。設D(s)可分解為 D(s)= 式中， 為系統(tǒng)的單實極點，則傳遞函數可展成部分分式之和 )()(sDsN)()(sDsN)())(( 21 nsss ??? ??? ?n??? , 21 ?1( ) ( )( ) ( )n ii icY s N sU s D s s ???? ??25 而 ， 為 在極點 處的留數 ， 且有 Y(s)= U(s) iii sssDsNc?? ??????? ?? )()()( )( )(sDsN i? ?? ?ni iisc1 ?若令狀態(tài)變量 其反變換結果為 )(1)( sUssXii ??? ni ,2,1 ??1( ) ( ) ( )( ) ( )i i iniiix t x t u ty t c x t????? ?展開得 1 1 12 2 21 1 2 2n n nnnx x ux x ux x uy c x c x c x?????????? ? ? ?其向量 矩陣形式為 （ 其狀態(tài)變量如圖 (a)所示 ） 1 1 12 2 30 110 1n n nxxuxx???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ?1212 nnxxy c c cx???????????????26 若令狀態(tài)變量 則 Y(s)= )()( sUs csXiii ?????nii sX1)(進行反變換并展開有 1 1 1 12 2 2 212n n n nnx x c ux x c ux x c uy x x x?????????? ? ? ?其向量 矩陣形式為 1 1 1 12 2 3 200n n n nx x cx x cux x c???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?131 1 1nxxyx???????????????其狀態(tài)變量圖如圖 (b)所示 ，兩者存在對偶關系 對角型動態(tài)方程狀態(tài)變量圖 如下： 27 （ a） （ b） 對角型動態(tài)方程狀態(tài)變量圖 3） 含重實極點時的情況 當傳遞函數除含單實極點之外還含有重實極點時，不僅可化為可控標準型或可觀測標準型，還可化為約當標準型動態(tài)方程，其 A陣是一個含約當塊的矩陣。 若動態(tài)方程中的 具有這種形式 ， 則稱為可觀測標準型 。 uhxy 01 ??其余（ n－ １）個狀態(tài)方程如下 n個。 由題意知系統(tǒng)有三個輸出量 ， 設 x? x? kxFkxVxfxm ???? )( ???fk,m,xxxx ??? 21 ,xyxxyxxy ??? ????? 32211 ,16 于是由系統(tǒng)微分方程可以導出系統(tǒng)狀態(tài)方程