【正文】 測性 第五章 線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解 第六章 線性定?？刂葡到y(tǒng)的綜合分析 4 ? 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法 ? 狀態(tài)空間描述常用的基本概念 ? 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 ? 線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立 第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間 5 典 型 控 制 系 統(tǒng) 方 框 圖 執(zhí)行器 被控對(duì)象 傳感器 控制器 控制輸入 觀測 y 控制 u 被控過程 x 反饋控制 被 控 過 程 puuu?21nxxx ?, 21qyyy?21 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法 6 典型控制系統(tǒng) 由被控對(duì)象 、 傳感器 、 執(zhí)行器和控制器組成 ?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 2 引 論 ? 經(jīng)典控制理論 : 數(shù)學(xué)模型 :線性定常高階微分方程和傳遞函數(shù) 。 分析方法 : 時(shí)域法 (低階 1～ 3階 ) 根軌跡法 頻域法 適應(yīng)領(lǐng)域 :單輸入－單輸出 （ SISO） 線性定常系統(tǒng) 缺 點(diǎn) :只能反映輸入－輸出間的外部特性 ， 難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和運(yùn)行狀態(tài) 。 被控過程 具有若干輸入端和輸出端 。 狀態(tài)空間描述 （ 內(nèi)部描述 ） ：基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu) ， 是對(duì)系統(tǒng)的一種完整的描述 。 1) 輸出： 系統(tǒng)的被控量或從外部測量到的系統(tǒng)信息 。 2) 狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)向量 ： 能完整描述和唯一確定系統(tǒng)時(shí)域行為或運(yùn)行過程的一組獨(dú)立（數(shù)目最?。┑淖兞糠Q為系統(tǒng)的狀態(tài)；其中的各個(gè)變量稱為狀態(tài)變量。 3) 狀態(tài)空間： 以狀態(tài)向量的各個(gè)分量作為坐標(biāo)軸所組成的 n維空間稱為狀態(tài)空間。隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)不斷變化，并在狀態(tài)空間中描述出一條軌跡，這種軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。一般情況下，狀態(tài)方程既是非線性的，又是時(shí)變的，可以表示為 6) 輸出方程： 描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程，當(dāng)輸出由傳感器得到時(shí)，又稱為觀測方程。一般形式為 ? ?( ) ( ) , ( ) ,x t f x t u t t?? ?( ) ( ) , ( ) ,y t g x t u t t? 狀態(tài)空間描述常用的基本概念 8 或離散形式 ? ?? ?( ) ( ) , ( ) ,( ) ( ) , ( ) ,x t f x t u t ty t g x t u t t??? ?? ?1( ) ( ) , ( ) ,( ) ( ) , ( ) ,k k k kk k k kx t f x t u t ty t g x t u t t? ??9) 線性系統(tǒng)： 線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分或差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程。即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y ( t) C ( t) x ( t) D ( t) u ( t)x t A t x t B t u t??( t ) A x ( t ) B u ( t )y ( t ) Cx ( t ) D u ( t )x ???? 或離散形式 ( 1 ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x k G x k H u ky k C x k D u k? ? ???A x B uy Cx D ux ???? 若有 9 分別寫出 狀態(tài)矩陣 A、控制矩陣 B、輸出矩陣 C、前饋矩陣 D : 已知： ?????????????nxxxx?21???????????????puuuu?21???????????????qyyyy?21?????????????nnnnnnaaaaaaaaaA??????212222111211???????????????npnnppbbbbbbbbbB??????212222111211???????????????qnqqnncccccccccC??????212222111211 11 12 121 22 212ppq q qpd d dd d dDd d d????????? 為書寫方便，常把連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)分別簡記為 S(A,B,C,D)和 S(G,H,C,D)。 nn?圖中， I為 ( )單位矩陣， s是拉普拉斯算子， z為單位延時(shí)算子。 由于狀態(tài)變量的選取不是唯一的，因此狀態(tài)方程、輸出方程、動(dòng)態(tài)方程也都不是唯一的。 動(dòng)態(tài)方程對(duì)于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的，即系統(tǒng)中的任何一個(gè)變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來描述。圖中 u、 i分別是是輸入電壓和輸入電流， y為輸出電壓， xi為電容器電壓或電感器電流。 對(duì)圖 85（ a） ，不失一般性 ， 假定電容器初始電壓值均為 0， 有 11 因此 ， 只有一個(gè)變量是獨(dú)立的 ， 狀態(tài)變量只能選其中一個(gè) ， 即用其中的任意一個(gè)變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為 。 對(duì)圖 （ b） x1 = x2， 因此兩者相關(guān) ， 電路只有兩個(gè)變量是獨(dú)立的 ， 即 （ x1和 x3） 或(x2和 x3)， 可以任用其中一組變量如 （ x2， x3） 作為狀態(tài)變量 。 解 已知 0,10 01,10 01,20 10 ????????????????????? ?? DCBA 故 ???????????????????????????210)2(11201)(11ssssssAsI??????????????????????????????????????????? ?210)2(111001210)2(111001)( 1ssssssssBAsI 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 13 .1 由物理模型建動(dòng)態(tài)方程 根據(jù)系統(tǒng)物理模型建立動(dòng)態(tài)方程 線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立 RLC 電路 例 13 試列寫如圖所示 RLC的電路方程 ， 選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程 ， 并就所選狀態(tài)變量間的關(guān)系進(jìn)行討論 。 根據(jù)獨(dú)立性要求 ， 電阻器的電壓與電流 、 電容器的電壓與電荷 、電感器的電流與磁通這三組變量不能選作為系統(tǒng)的狀態(tài) 。 例 14 由質(zhì)量塊 、 彈簧 、 阻尼器組成的雙輸入三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)如圖所示 ， 具有力 F和阻尼器氣缸速度 V 兩種外作用 ， 輸出量為質(zhì)量塊的位移 ， 速度和加速度 。 分別為質(zhì)量 、 彈簧剛度 、 阻尼系數(shù)； x為質(zhì)量塊位移 。 設(shè) 。首先研究情況，為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量，設(shè) 例 1－ 5 18 其展開式為 ?????????? niuhxxuhyxiii ,3,21101?????????????????????????????????????uhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhyuhxxuhyxnnnnnnn 1)2(1)1(0)1(112102231011201???????????式中， 是 n個(gè)待定常數(shù)。 110 , ?nhhh ?由上式的第一個(gè)方程可得輸出方程是 n個(gè)。 uhxxuhxxuhxxnnn 11232121?? ??????????＃ 對(duì)＃式求導(dǎo)，有 ： ( ) ( ) ( 1 )0 1 1( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )1 1 0 0 0 0 1 1()n n nnnn n n nnnx y h u h u h ua y a y a y b u b u h u h u h u??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19 由展開式將 均以 及 u 的各階導(dǎo)數(shù)表示，經(jīng)整理可得 yyy n ,)1( ??? ixuhahahabuhahahbuhahbuhbxaxaxnnnnnnnnnnnnn)()()()(0011110012111)1(0111)(0110???????????????????????????????????令上式中 u 的各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為零 ， 可確定各 h 值 01211101110hahabhhabhbhnnnnnn??????????????記 0011110 hahahabh nnn ????? ?? ?故 uhxaxax nnnn ????? ? 110 ??則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 ducxybuAxx?????式中 ? ? 012112100001100001000010hdchhhhbaaaaAnnn?????????????????????????????????????????????????????20 若輸入量中僅含 ｍ 次導(dǎo)數(shù)且 ，可將高于 ｍ 次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)置 0，仍可應(yīng)用上述公式。 bA和 A0121 ???? ?n??? ? 時(shí)， 的形式不變， bA和 ? ?000 ???c22 當(dāng) 時(shí) ， 不變 ， )()()(sDsNbsGn ??cbA , ubcxy n??當(dāng) 時(shí) ， 若按下式選取狀態(tài)變量 0?nb Toc AA ? Toc cb ? Toc bc ?式中 ， T為轉(zhuǎn)置符號(hào) ， 則有 ?????????????????????? 1210100010001000naaaaA???????????????????????110nb????? ?100 ??c注意 的形狀特征 。 自行 證明 ： 可控標(biāo)準(zhǔn)型 和 可觀測標(biāo)準(zhǔn)型 是同一傳遞函數(shù)的不同實(shí)現(xiàn) 。 解 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 212 21)()()(??? ??????nssTssUsYsG于是 ， 可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的各矩陣為 ???????21ccc xxx ????????? ??? 2102cA ???????10cb ? ?Tc c 1?由 G(s)串聯(lián)分解并引入中間變量 z有 22z z z uy Tz z?? ?? ? ???對(duì) y求導(dǎo)并考慮上述關(guān)系式 ， 則有 TuTzzTzzTy ?????? 2)21( ??? ?????令 可導(dǎo)出狀態(tài)變量與輸入 ， 輸出量的關(guān)系； ,1 zxc ? ,2 zxc ??)21()()21(])21([22222221TTTuTyyxTTuTyyTxcc???????????????????????可觀測標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程中各矩陣為 22y y y