【正文】 (l i m 00
。定常系統(tǒng)的δ 與 t0 無關(guān)，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。( 00exx ?02021100 )()( nenee xxxxxx ?????? ?3) 一致穩(wěn)定性： 通常 δ 與 ?、 t0 都有關(guān)。 2) 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 ： 如果對于任意小的 ? 0， 均存在一個(gè) ， 當(dāng)初始狀態(tài)滿足 時(shí) ，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡滿足 lim ， 則稱該平衡狀態(tài) xe 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的 ， 簡稱是穩(wěn)定的 。 ( , ) 0eex f x t?? ex0x?1) 平衡狀態(tài) : 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 平衡狀態(tài)的各分量不再隨時(shí)間變化；若已知狀態(tài)方程 ， 令 所求得的解 x ,便是平衡狀態(tài) 。當(dāng)采樣周期 T足夠小時(shí)，按導(dǎo)數(shù)定義有 代入（ 85a）得到離散化狀態(tài)方程 對于非線性時(shí)變系統(tǒng)，一般都是先離散化，然后再用遞推計(jì)算求數(shù)值解的方法進(jìn)行系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析。通過變量代換，上式又可表示為： ??? dtBuxttx t )()()0()()( 0 ?? ????若取 作為初始時(shí)刻，則有 0t000() ()0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttA t t Atx t e x t e B u d t t x t t B u d? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ???49 2) 拉普拉斯變換法 將 式兩端取拉氏變換，有 11( ) ( 0 ) ( ) ( )( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )s X s x A X s B U sX s s I A X s I A B U s??? ? ?? ? ? ?進(jìn)行拉氏反變換有 )]()[()0()()( 1111 sBUAsILxAsILtx ???? ????例 25 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 uxxxx ????????????????????????????1032102121??12( 0) [ ( 0) ( 0) ] Tx x x?( ) 1( )u t t?且 試求在 作用下狀態(tài)方程的解。 21 ttt ??)( 21 tt ?? )()( 21 tt ??? 與)()( 21 tt ??? 與Itttttt ????????????? )0()()()()()()(t?1( ) ( ) ( 0) , ( 0) ( ) ( ) ( ) ( )x t t x x t x t t x t? ? ??? ? ? ?證明 :由性質(zhì) 3）有 根據(jù) 的這一性質(zhì)， 對于線性定常系統(tǒng)，顯然有 5) )()()(1122 txtttx ???)()()()()0(),0()()( 1111111 txttxtxxttx ??????? ?)()()()()()0()()( 11211222 txtttxttxttx ?????????)(1tx )( 2tx )( 12 tt ?? 證明 ：由于 則 即由 轉(zhuǎn)移至 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 47 )( 02 tt ?? )( 12 tt ??? )( 01 tt ??6) )()()( 0022 txtttx ??? )()(( 0011 txtttx ???)()()( 1122 txtttx ??? )( 12 tt ??)( 01 tt ??? )(0tx )( 02 tt ??? )(0tx 證明：由 和 得到 )()]([ ktt k ???)()()]([ )( kteeet ktAk A tkAtk ????? ＝BAAB ? AtBtBtAttBA eeeee ??? )( 7 ) 8) 若 ，則 證明： ?????? ????????????????tttttttteeeeeeeet22222222)( At),(1??例 24 已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 ，試求 。 ( 1 , 2 , , 1 )i i k m? ? ? ?45 例 23 已知 ，求 。 0? 1? 1k??Ate例 22 已知 ， 求 。即若設(shè) n階矩陣 A的特征多項(xiàng)式為 ? ? 0111)( aaaAIf nnn ??????? ?? ????? ? 則有 : 0)(0111 ?????? ?? IaAaAaAAf nnn ?42 從該定理還可導(dǎo)出以下兩個(gè)推論： 推論 1 矩陣 A的 次冪，可表為 A的（ n1）階多項(xiàng)式 ： )( nkk ?mnmmk AA ????10?)( nk ?推論 2 矩陣指數(shù) 可表為 A的（ n1）階多項(xiàng)式，即： 且各作為時(shí)間的函數(shù)是線性無關(guān)的。 )0()()( 1 xAsIsX ???? ? )0()(L)( 11 xAsItx ?? ?? )0()( xetx At? 11= L ( )Ate sI A???????Ate例 21 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，試用拉氏變換求解。 1) 冪級(jí)數(shù)法 :設(shè)齊次方程的解是 t的向量冪級(jí)數(shù) 式中， 都是 n維向量，且 ，求導(dǎo)并考慮狀態(tài)方程，得 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng) )()( tAxtx ???? ?????? kk tbtbtbbtx 2210)(?? , 10 kbbbx 0)0( bx ?)(2)( 2210121 ????? ??????????? ? kkkk tbtbtbbAtkbtbbtx等號(hào)兩邊對應(yīng)的系數(shù)相等 ， 有 ??010323021201!1161312121bAkAbkbbAAbbbAAbbAbbkkk????????40 故 2211( ) ( ) ( 0 )2! kkx t I A t A t A t xk? ? ? ? ? ?定義 2201 1 12 ! !At k k k kke I At A t A t A tkk??? ? ? ? ? ? ? ?則 )0()( xetx At? 稱為矩陣指數(shù)函數(shù)，簡稱矩陣指數(shù) ,又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為 ： 求解齊次狀態(tài)方程的問題，核心就是計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的問題 。鑒于輸入矩陣只有一列，這里不能選取極點(diǎn)的留數(shù)來構(gòu)成輸入矩陣，而只能取元素全為 1的輸入矩陣。解 由于系統(tǒng)是單輸入 ， 多輸出的 ， 故輸入矩陣只有一列 ， 輸出矩陣有兩行 。 ???????????????????14)2)(1(3)(ssssssG例 17 已知單輸入 多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 ，求其傳遞 矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)及對角型實(shí)現(xiàn)。 通常 , , 的特性并不相同 ， 具有不同的分母 ， 設(shè)最小公分母為： ),2,1)((? qisG i ??)(?1 sG )(?2 sG )(?, sGq?0111)( asasassD nnn ????? ?? ? 的一般形式為 )(? sG11 , 1 11 1012 , 1 21 201, 1 1 01()()nnnnnq n q qssssGsDsss? ? ?? ? ?? ? ?????????? ? ???? ? ?? ????? ? ???將 作串聯(lián)分解并引入中間變量 Z， 令 若將 A陣寫為友矩陣 ， 便可得到可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)方程： )(? sG )1(21 ,),()()( ????? nn zxzxzxsDsUsZ ??1210 1 2 100 1 0 000 0 1 000 0 0 11nn nxxx u A x b uxa a a a x???? ?????? ?????? ???? ????? ? ? ??? ???? ?????? ??? ? ? ??? ????每個(gè)子系統(tǒng)的輸出方程 ： 33 每個(gè)子系統(tǒng)的輸出方程 ： 1 1 110 11 1 , 12 20 21 2 , 1 2 20 1 , 1nnq q q nq q qy x dy x dy u C x duy x d? ? ?? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 可以看到 ，單輸入， q維輸出系統(tǒng)的輸入矩陣為 q維列向量，輸出矩陣為（ q n）矩陣，故不存在其對偶形式，即 不存在可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。 這里僅限于 單輸入 多輸出和 多輸入 單輸出 系統(tǒng)。 上面兩式也存在對偶關(guān)系 。設(shè)D(s)可分解為 D(s)= 式中， 為系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)可展成部分分式之和 )()(sDsN)()(sDsN)())(( 21 nsss ??? ??? ?n??? , 21 ?1( ) ( )( ) ( )n ii icY s N sU s D s s ???? ??25 而 ， 為 在極點(diǎn) 處的留數(shù) ， 且有 Y(s)= U(s) iii sssDsNc?? ??????? ?? )()()( )( )(sDsN i? ?? ?ni iisc1 ?若令狀態(tài)變量 其反變換結(jié)果為 )(1)( sUssXii ??? ni ,2,1 ??1( ) ( ) ( )( ) ( )i i iniiix t x t u ty t c x t????? ?展開得 1 1 12 2 21 1 2 2n n nnnx x ux x ux x uy c x c x c x?????????? ? ? ?其向量 矩陣形式為 （ 其狀態(tài)變量如圖 (a)所示 ） 1 1 12 2 30 110 1n n nxxuxx???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ?1212 nnxxy c c cx???????????????26 若令狀態(tài)變量 則 Y(s)= )()( sUs csXiii ?????nii sX1)(進(jìn)行反變換并展開有 1 1 1 12 2 2 212n n n nnx x c ux x c ux x c uy x x x?????????? ? ? ?其向量 矩陣形式為 1 1 1 12 2 3 200n n n nx x cx x cux x c???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?131 1 1nxxyx???????????????其狀態(tài)變量圖如圖 (b)所示 ，兩者存在對偶關(guān)系 對角型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖 如下： 27 （ a）