【正文】 （ b） 對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖 3） 含重實(shí)極點(diǎn)時(shí)的情況 當(dāng)傳遞函數(shù)除含單實(shí)極點(diǎn)之外還含有重實(shí)極點(diǎn)時(shí)，不僅可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，還可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程，其 A陣是一個(gè)含約當(dāng)塊的矩陣。 可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖如圖 ： cA, cA, （ 對(duì)偶關(guān)系 ） 可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 23 例 16 設(shè)二階系統(tǒng)微分方程為 ，試列寫可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程，并分別確定狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系。 若動(dòng)態(tài)方程中的 具有這種形式 ， 則稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 。 nm? .3 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程 01111110)()()(asasasbsbsbsbsUsYsGnnnnnnn????????????????應(yīng)用綜合除法有 )()()(01110111sDsNbasasasssbsGnnnnnnn ????????????????? ??? 式中， 是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)，當(dāng) G(s)的分母次數(shù)大于分子次數(shù)時(shí)， ， 是嚴(yán)格有理真分式，其分子各次項(xiàng)的系數(shù)分別為 nb0?nb )( )(sDsNnnnnnnbabbabbab111111000??? ??????????下面介紹由 導(dǎo)出幾種標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的方法： 1） 串聯(lián)分解 如圖，取 z為中間變量，將 分解為相串聯(lián)的兩部分，有 )()(sDsN)()(sDsNzzzyuzazazaznnnnn01)1101)11)(??? ???????????????＋＋（（選取狀態(tài)變量 )1(21 , ???? nn zxzxzx ??)()(sDsN21 則狀態(tài)方程為 1223( 1 )0 1 10 1 1 2 1nnnnnxxxxx a z a z a z ua x a x a x u?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?輸出方程為 nn xxxy 12110 ????? ??? ?其向量 矩陣形式 cxybuAxx????式中， ?????????????????????naaaaA?????????210100001000010?????????????????1000?b? ?110 ?? nc ??? ?當(dāng) 具有以上形狀時(shí)， 陣稱為友矩陣，相應(yīng)的狀態(tài)方程則稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 uhxy 01 ??其余（ n－ １）個(gè)狀態(tài)方程如下 n個(gè)。 是 n個(gè)。 由題意知系統(tǒng)有三個(gè)輸出量 ， 設(shè) x? x? kxFkxVxfxm ???? )( ???fk,m,xxxx ??? 21 ,xyxxyxxy ??? ????? 32211 ,16 于是由系統(tǒng)微分方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程 ? ?FkxVxfmxxxx???????12221)(1????其向量 矩陣形式為 ??????????????????????????????????????VFmfmxxmfmkxx 1 00102121??112231 0 0 00 1 0 01yx Fyx Vk f fym m m m? ? ? ???? ? ? ??? ????? ? ? ??? ?? ????? ? ? ? ?????????? ? ? ? ?? ? ? ? 由高階微分方程建動(dòng)態(tài)方程 1) 微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ： uyayayayay nnnnn 001)2(2)1(1)( ??????? ???? ?? 選 n個(gè)狀態(tài)變量為 有 )1(21 , ???? nn yxyxyx ???????????????????????11211013232xyuxaxaxaxxxxxxxnnnnn??????得到動(dòng)態(tài)方程 cxybuAxx????17 式中 ? ?1210 1 2 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0, , , 1 0 00 0 0 1 0nnnxxx A b cxx a a a a ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 2) 微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ： ubububuyayayay nnnnnn 01)1(1)(01)1(1)( ????????? ???? ???? 一般輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù) n。 雙輸入－三輸出機(jī)械位移系統(tǒng) 解 根據(jù)牛頓力學(xué)可知 ， 系統(tǒng)所受外力 F與慣性力m 、 阻尼力 f( － V )和彈簧恢復(fù)力 構(gòu)成平衡關(guān)系 ， 系統(tǒng)微分方程如下 : 這是一個(gè)二階系統(tǒng) ， 若已知質(zhì)量塊的初始位移和初始速度 ， 系統(tǒng)在輸入作用下的解便可唯一確定 ， 故選擇質(zhì)量塊的位移和速度作為狀態(tài)變量 。 試列寫該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 。 根據(jù)回路電壓定律 ei dtCdtdiLRi ??? ?1 電路輸出量 y 為 1cy e idtC?? ? 1) 設(shè)狀態(tài)變量為電感器電流和電容器電壓 ， 即 則狀態(tài)方程為 ix ?1 ?? idtCx 12eLxLxLRx 11 211 ?????121 xCx ?? 輸出方程為 2xy ?14 其向量 矩陣形式為 ? ? ?????????????????????????????????????????2121211001011xxyeLxxCLCRxx??簡(jiǎn)記為 cxybeAxx????式中， ? ?10,01,011,2121 ???????????????????? ????????????????? cLbCLCRAxxxxxx ??? 2)設(shè)狀態(tài)變量為電容器電流和電荷，即 則有 ??? id txix21 ,???????????????????????????????????? ?????????212121 10,01011xxCyeLxxLCLRxx?? 3)設(shè)狀態(tài)變量 （ 無(wú)明確意義的物理量），可以推出 ?? ??? i dtCxRii dtCx 1,1 21 1x)()(1 12121 exLRxxRCdtdiRxx ??????? ??2212 )(11xyxxRCiCx?????15 其向量 矩陣形式為 ? ? ??????????????????????????????????????????2121211001111xxyLRxxRCRCRCLRRCxx??可見(jiàn)對(duì)同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不具有唯一性，動(dòng)態(tài)方程也不是唯一的。 解 有明確物理意義的常用變量主要有：電流 、 電阻器電壓 、 電容器的電壓與電荷 、 電感器的電壓與磁通 。 13232 xcccx?? 13223 xcccx??12 令初始條件為零，對(duì)線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換，可以得到 11( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( )X s s I A B U sY s C s I A B D U s????? ? ?系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣（簡(jiǎn)稱傳遞矩陣）定義為 DBAsICsG ??? ? 1)()(例 12 已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 ????????????????????????????????????????????????????2121212121100110012010xxyyuuxxxx?? 試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 。 實(shí)際上 ， 三個(gè)串并聯(lián)的電容可以等效為一個(gè)電容 。 x3 解 并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨(dú)立變量 。 例 1－ 1 試確定圖 85中（ a）、（ b）所示電路的獨(dú)立狀態(tài)變量。但是，用獨(dú)立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)應(yīng)該是唯一的，與狀態(tài)變量的選取方法無(wú)關(guān)。 10 ? 討論： 狀態(tài)變量的獨(dú)立性。 11) 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 ： 線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程常用結(jié)構(gòu)圖表示。線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的一般形式為 10) 線性定常系統(tǒng)： 線性系統(tǒng)的 A， B， C， D或 G， H， C， D中的各元素全部是常數(shù)。輸出方程的一般形式為 7) 動(dòng)態(tài)方程： 狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為動(dòng)態(tài)方程，又稱為狀態(tài)空間表達(dá)式 。 5) 狀態(tài)方程： 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階向量微分或差分方程稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它不含輸入的微積分項(xiàng)。 4) 狀態(tài)軌線： 系統(tǒng)在某個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間可以看作是一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)狀態(tài)表示成以各狀態(tài)變量為分量組成的向量時(shí)，稱為狀態(tài)向量。若輸出是由傳感器測(cè)量得到的，又稱為 觀測(cè) 。 7 1) 輸入： 外部對(duì)系統(tǒng)的作用（激勵(lì)）； 控制： 人為施加的激勵(lì)； 輸入分控制與干擾。 數(shù)學(xué)描述方法 ： 輸入－輸出描述 （ 外部描述 ） :高階微分方程 、 傳遞函數(shù)矩陣 。 ? 現(xiàn)代控制理論： 數(shù)學(xué)模型 :以一階微分方程組成差分方程組表示的動(dòng)態(tài)方程 分析方法 :精準(zhǔn)的時(shí)域分析法 適應(yīng)領(lǐng)域 ： （ 1） 多輸入－多輸出系統(tǒng) （ MIMO、 SISO、 MISO、 SIMO） （ 2） 非線性系統(tǒng) （ 3） 時(shí)變系統(tǒng) 優(yōu)越性： （ 1） 能描述系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)行狀態(tài) （ 2） 便于考慮初始條件 （ 與傳遞函數(shù)比較 ） （ 3） 適用于多變量 、 非線性 、 時(shí)變等復(fù)雜大型控制系統(tǒng) （ 4） 便于計(jì)算機(jī)分析與計(jì)算 （ 5） 便于性能的最優(yōu)化設(shè)計(jì)與控制 內(nèi)容： 線性系統(tǒng)理論 、 最優(yōu)控制 、 最優(yōu)估計(jì) 、 系統(tǒng)辨識(shí) 、 自適應(yīng)控制 近似分析 3 第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 第二章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 第三章 控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 第四章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀