【正文】 56 4）漸近穩(wěn)定性： 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性，且有： ????textxtx 0),。 表示狀態(tài)空間中 x0點至 xe點之間的距離 ， 其數(shù)學表達式為： 0),( 0 ?t?? ??? exx 0??? extxtx ),。 ?本章作業(yè)： 8－ 8， 8－ 9， 8－ 11 54 ? 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 ? 李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法 ? 李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法 ? 線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 第三章 控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 55 如果對于所有 t， 滿足 的狀態(tài) 稱為平衡狀態(tài) （ 平衡點 ） 。 解： 根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運算性質(zhì)有 ???????????????????????????????????????????????????3210442222)0(2222)()(0222222221ttttttttttttttttteeeeeeeeAeeeeeeeett?9) 若 1A P AP? － ，則 11( ) ( )A t A tt e P e P P t P? ? ? ? ?－－48 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的受控運動 線性定常系統(tǒng)的受控運動 : 線性定常系統(tǒng)在控制作用下的運動，數(shù)學描述為： )()()( tButAxtx ???主要有如下兩種解法： )())()(( tBuetAxtxe AtAt ?? ???1) 積分法 由上式 由于 ( ( ) ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]A t A t A t A td e x t A e x t e x t e x t A x tdt ? ? ? ?? ? ? ? ?積分后有 0( ) ( 0 ) ( )tA t Ae x t x e B u t d? ????? ?()00( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )ttA t A tx t e x e B u t d t x t B u t d? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???即 式中，第一項為零輸入響應(yīng)；第二項是零狀態(tài)響應(yīng)。 3122A???? ?????Ate解 首先求 A的特征值： 0IA? ?? 31 022???? ???2 5 4 0??? ? ?1 1? ?? 2 4? ??將其代入 ， 有： 10()ikt jjijet? ????? ? 01401( 1 )( 4 )ttee??????? ? ? ??? ? ? ???404141331133tttteeee??????? ?????? ????01Ate I A?????????????????????? ????2213)3131(1001)3134( 44 tttt eeee44 44441 2 1 13 3 3 32 2 2 13 3 3 3t t t tAtt t t te e e eee e e e? ? ? ?? ? ? ??????????????2) 若矩陣 A 的特征值是 m 階的： 則求解各系數(shù)的方程組的前 m個方程可以寫成： 1 10 1 1 1 1t kke ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?1121 2 1 1 1121 1 1 1 1 112 ( 1 )( 1 ) ! ( 1 ) !( 1 ) ! !2 ! ( ) !tkkmt k mm m m kmdekdd m ke m md k m??????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???????? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? 其它由 組成的 （ k m） 個方程仍與第一種情況相同 ， 它們上式聯(lián)立即可解出各待定系數(shù) 。 ???????????? ????????? )( )(32 10)( )(2121txtxtxtx??解 ?????? ????????? ??????????? 32 132 1000 ssssAsI41 狀態(tài)方程的解為 : ?????? ??????? ??? ? ssssAsI AsIadjAsI 2 13)2)(1( 1)()( 1?????????????????????????2211221221112112ssssssss?????????????????????????tttttttteeeeeeeeAsILt2222112222])[()(??????????????????????????????????????????)0()0(2222)0()0()()()(2122222121xxeeeeeeeexxttxtxtttttttt3) 凱萊－哈密頓定理 矩陣 A滿足它自己的特征方程。于是，對角型實現(xiàn)的狀態(tài)方程為 ： ( ) 0Ds?121 0 10 2 1xx A x b u ux? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ???其輸出矩陣由極點對應(yīng)的留數(shù)組成 ， 在 1， 2處的留數(shù)分別為： (s)G??????? ?????????????????????????????????????????????????????01)2(3311)2()(?32)2(3321)1()(?221111sssssssssGcsssssGc故其輸出方程為 ? ? duxccduCxy ???? 2137 ?本章作業(yè)： 8－ 3， 8－ 4， 8－ 5， 8－ 7 38 第二章 線性系統(tǒng)的運動分析 ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運動 ? 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的受控運動 ? 線性定常離散系統(tǒng)的分析 ? 連續(xù)系統(tǒng)的離散化 39 在控制 u=0情況下，線性定常系統(tǒng)由初始條件引起的運動稱為 線性定常系統(tǒng)的自由運動 ，可由 齊次狀態(tài)方程 描述 ： 齊次狀態(tài)方程 求解方法 ： 冪級數(shù)法 、 拉普拉斯變換法 和 凱萊－哈密頓定理法 。 例 已知單輸入 多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 ，求其傳遞矩陣的可控標準型實現(xiàn)及對角型實現(xiàn)。 1) SIMO系統(tǒng)的實現(xiàn)： 1( ) ( )C sI A B D G s?? ? ?單輸入－多輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 1） 系統(tǒng)可看作由 q個獨立子系統(tǒng)組成 ， 傳遞矩陣為： )(?)(?)(?)(?)(?)(?)(?)()()()( 2121221121sGdsGsGsGdddsGdsGdsGdsGsGsGsGqqqqq?????????????????????????????????????????????????????????????????????32 式中 ， d為常數(shù)向量； 為不可約分的嚴格有理真分式 （ 即分母階次大于分子階次 ） 函數(shù) 。設(shè) D(s)可分解為 D(s)= 式中 為三重實極點， 為單實極點，則傳遞函數(shù)可展成為下列部分分式之和： )()(sDsN)()()( 431 nsss ??? ??? ?1? n?? ,4 ?131 1 1 23211 1 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nii iccY s N s c cU s D s s s s s? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??28 其狀態(tài)變量的選取方法與之含單實極點時相同，可分別得出向量 矩陣形式的動態(tài)方程： 11 11112 12113 1314441 010 01101nnnxxxxuxx?????? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? ? ? ? ????? ? ? ?? ?1 1 1 2 1 3 4 ny c c c c c x?11 111 1112 121 1213 131 1344441010nnnnccxx cuccxx?????? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? ? ? ? ????? ? ? ?? ?0 0 0 1 1yx?29 其對應(yīng)的狀態(tài)變量圖如圖 （ a） ， （ b） 所示 。 自行 證明 ： 可控標準型 和 可觀測標準型 是同一傳遞函數(shù)的不同實現(xiàn) 。 uhxxuhxxuhxxnnn 11232121?? ??????????＃ 對＃式求導，有 ： ( ) ( ) ( 1 )0 1 1( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )1 1 0 0 0 0 1 1()n n nnnn n n nnnx y h u h u h ua y a y a y b u b u h u h u h u??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19 由展開式將 均以 及 u 的各階導數(shù)表示，經(jīng)整理可得 yyy n ,)1( ??? ixuhahahabuhahahbuhahbuhbxaxaxnnnnnnnnnnnnn)()()()(0011110012111)1(0111)(0110???????????????????????????????????令上式中 u 的各階導數(shù)的系數(shù)為零 ， 可確定各 h 值 01211101110hahabhhabhbhnnnnnn??????????????記 0011110 hahahabh nnn ????? ?? ?故 uhxaxax nnnn ????? ? 110 ??則系統(tǒng)的動態(tài)方程為 ducxybuAxx?????式中 ? ? 012112100001100001000010hdchhhhbaaaaAnnn?????????????????????????????????????????????????????20 若