【正文】 輸入量中僅含 ｍ 次導(dǎo)數(shù)且 ，可將高于 ｍ 次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)置 0，仍可應(yīng)用上述公式。首先研究情況，為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量，設(shè) 例 1－ 5 18 其展開(kāi)式為 ?????????? niuhxxuhyxiii ,3,21101?????????????????????????????????????uhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhyuhxxuhyxnnnnnnn 1)2(1)1(0)1(112102231011201???????????式中， 是 n個(gè)待定常數(shù)。 分別為質(zhì)量 、 彈簧剛度 、 阻尼系數(shù)； x為質(zhì)量塊位移 。 根據(jù)獨(dú)立性要求 ， 電阻器的電壓與電流 、 電容器的電壓與電荷 、電感器的電流與磁通這三組變量不能選作為系統(tǒng)的狀態(tài) 。 對(duì)圖 （ b） x1 = x2， 因此兩者相關(guān) ， 電路只有兩個(gè)變量是獨(dú)立的 ， 即 （ x1和 x3） 或(x2和 x3)， 可以任用其中一組變量如 （ x2， x3） 作為狀態(tài)變量 。圖中 u、 i分別是是輸入電壓和輸入電流， y為輸出電壓， xi為電容器電壓或電感器電流。 由于狀態(tài)變量的選取不是唯一的，因此狀態(tài)方程、輸出方程、動(dòng)態(tài)方程也都不是唯一的。即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y ( t) C ( t) x ( t) D ( t) u ( t)x t A t x t B t u t??( t ) A x ( t ) B u ( t )y ( t ) Cx ( t ) D u ( t )x ???? 或離散形式 ( 1 ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x k G x k H u ky k C x k D u k? ? ???A x B uy Cx D ux ???? 若有 9 分別寫(xiě)出 狀態(tài)矩陣 A、控制矩陣 B、輸出矩陣 C、前饋矩陣 D : 已知： ?????????????nxxxx?21???????????????puuuu?21???????????????qyyyy?21?????????????nnnnnnaaaaaaaaaA??????212222111211???????????????npnnppbbbbbbbbbB??????212222111211???????????????qnqqnncccccccccC??????212222111211 11 12 121 22 212ppq q qpd d dd d dDd d d????????? 為書(shū)寫(xiě)方便，常把連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)分別簡(jiǎn)記為 S(A,B,C,D)和 S(G,H,C,D)。一般情況下，狀態(tài)方程既是非線性的，又是時(shí)變的，可以表示為 6) 輸出方程： 描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱(chēng)為輸出方程，當(dāng)輸出由傳感器得到時(shí)，又稱(chēng)為觀測(cè)方程。 3) 狀態(tài)空間： 以狀態(tài)向量的各個(gè)分量作為坐標(biāo)軸所組成的 n維空間稱(chēng)為狀態(tài)空間。 1) 輸出： 系統(tǒng)的被控量或從外部測(cè)量到的系統(tǒng)信息 。 被控過(guò)程 具有若干輸入端和輸出端 ?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 2 引 論 ? 經(jīng)典控制理論 : 數(shù)學(xué)模型 :線性定常高階微分方程和傳遞函數(shù) 。 數(shù)學(xué)描述方法 ： 輸入－輸出描述 （ 外部描述 ） :高階微分方程 、 傳遞函數(shù)矩陣 。若輸出是由傳感器測(cè)量得到的，又稱(chēng)為 觀測(cè) 。 4) 狀態(tài)軌線： 系統(tǒng)在某個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間可以看作是一個(gè)點(diǎn)。輸出方程的一般形式為 7) 動(dòng)態(tài)方程： 狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱(chēng)為動(dòng)態(tài)方程，又稱(chēng)為狀態(tài)空間表達(dá)式 。 11) 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 ： 線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程常用結(jié)構(gòu)圖表示。但是，用獨(dú)立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)應(yīng)該是唯一的，與狀態(tài)變量的選取方法無(wú)關(guān)。 x3 解 并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨(dú)立變量 。 13232 xcccx?? 13223 xcccx??12 令初始條件為零，對(duì)線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換，可以得到 11( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( )X s s I A B U sY s C s I A B D U s????? ? ?系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣（簡(jiǎn)稱(chēng)傳遞矩陣）定義為 DBAsICsG ??? ? 1)()(例 12 已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 ????????????????????????????????????????????????????2121212121100110012010xxyyuuxxxx?? 試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 。 根據(jù)回路電壓定律 ei dtCdtdiLRi ??? ?1 電路輸出量 y 為 1cy e idtC?? ? 1) 設(shè)狀態(tài)變量為電感器電流和電容器電壓 ， 即 則狀態(tài)方程為 ix ?1 ?? idtCx 12eLxLxLRx 11 211 ?????121 xCx ?? 輸出方程為 2xy ?14 其向量 矩陣形式為 ? ? ?????????????????????????????????????????2121211001011xxyeLxxCLCRxx??簡(jiǎn)記為 cxybeAxx????式中， ? ?10,01,011,2121 ???????????????????? ????????????????? cLbCLCRAxxxxxx ??? 2)設(shè)狀態(tài)變量為電容器電流和電荷，即 則有 ??? id txix21 ,???????????????????????????????????? ?????????212121 10,01011xxCyeLxxLCLRxx?? 3)設(shè)狀態(tài)變量 （ 無(wú)明確意義的物理量），可以推出 ?? ??? i dtCxRii dtCx 1,1 21 1x)()(1 12121 exLRxxRCdtdiRxx ??????? ??2212 )(11xyxxRCiCx?????15 其向量 矩陣形式為 ? ? ??????????????????????????????????????????2121211001111xxyLRxxRCRCRCLRRCxx??可見(jiàn)對(duì)同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不具有唯一性，動(dòng)態(tài)方程也不是唯一的。 雙輸入－三輸出機(jī)械位移系統(tǒng) 解 根據(jù)牛頓力學(xué)可知 ， 系統(tǒng)所受外力 F與慣性力m 、 阻尼力 f( － V )和彈簧恢復(fù)力 構(gòu)成平衡關(guān)系 ， 系統(tǒng)微分方程如下 : 這是一個(gè)二階系統(tǒng) ， 若已知質(zhì)量塊的初始位移和初始速度 ， 系統(tǒng)在輸入作用下的解便可唯一確定 ， 故選擇質(zhì)量塊的位移和速度作為狀態(tài)變量 。 是 n個(gè)。 nm? .3 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程 01111110)()()(asasasbsbsbsbsUsYsGnnnnnnn????????????????應(yīng)用綜合除法有 )()()(01110111sDsNbasasasssbsGnnnnnnn ????????????????? ??? 式中， 是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)，當(dāng) G(s)的分母次數(shù)大于分子次數(shù)時(shí)， ， 是嚴(yán)格有理真分式，其分子各次項(xiàng)的系數(shù)分別為 nb0?nb )( )(sDsNnnnnnnbabbabbab111111000??? ??????????下面介紹由 導(dǎo)出幾種標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的方法： 1） 串聯(lián)分解 如圖，取 z為中間變量，將 分解為相串聯(lián)的兩部分，有 )()(sDsN)()(sDsNzzzyuzazazaznnnnn01)1101)11)(??? ???????????????＋＋（（選取狀態(tài)變量 )1(21 , ???? nn zxzxzx ??)()(sDsN21 則狀態(tài)方程為 1223( 1 )0 1 10 1 1 2 1nnnnnxxxxx a z a z a z ua x a x a x u?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?輸出方程為 nn xxxy 12110 ????? ??? ?其向量 矩陣形式 cxybuAxx????式中， ?????????????????????naaaaA?????????210100001000010?????????????????1000?b? ?110 ?? nc ??? ?當(dāng) 具有以上形狀時(shí)， 陣稱(chēng)為友矩陣，相應(yīng)的狀態(tài)方程則稱(chēng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖如圖 ： cA, cA, （ 對(duì)偶關(guān)系 ） 可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 23 例 16 設(shè)二階系統(tǒng)微分方程為 ，試列寫(xiě)可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程，并分別確定狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系。 上面兩式也存在對(duì)偶關(guān)系 。 通常 , , 的特性并不相同 ， 具有不同的分母 ， 設(shè)最小公分母為： ),2,1)((? qisG i ??)(?1 sG )(?2 sG )(?, sGq?0111)( asasassD nnn ????? ?? ? 的一般形式為 )(? sG11 , 1 11 1012 , 1 21 201, 1 1 01()()nnnnnq n q qssssGsDsss? ? ?? ? ?? ? ?????????? ? ???? ? ?? ????? ? ???將 作串