【正文】 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 2 引 論 ? 經(jīng)典控制理論 : 數(shù)學(xué)模型 :線性定常高階微分方程和傳遞函數(shù) 。 分析方法 : 時域法 (低階 1～ 3階 ) 根軌跡法 頻域法 適應(yīng)領(lǐng)域 :單輸入－單輸出 （ SISO） 線性定常系統(tǒng) 缺 點 :只能反映輸入－輸出間的外部特性 ， 難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和運(yùn)行狀態(tài) 。 ? 現(xiàn)代控制理論： 數(shù)學(xué)模型 :以一階微分方程組成差分方程組表示的動態(tài)方程 分析方法 :精準(zhǔn)的時域分析法 適應(yīng)領(lǐng)域 ： （ 1） 多輸入－多輸出系統(tǒng) （ MIMO、 SISO、 MISO、 SIMO） （ 2） 非線性系統(tǒng) （ 3） 時變系統(tǒng) 優(yōu)越性： （ 1） 能描述系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)行狀態(tài) （ 2） 便于考慮初始條件 （ 與傳遞函數(shù)比較 ） （ 3） 適用于多變量 、 非線性 、 時變等復(fù)雜大型控制系統(tǒng) （ 4） 便于計算機(jī)分析與計算 （ 5） 便于性能的最優(yōu)化設(shè)計與控制 內(nèi)容： 線性系統(tǒng)理論 、 最優(yōu)控制 、 最優(yōu)估計 、 系統(tǒng)辨識 、 自適應(yīng)控制 近似分析 3 第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 第二章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析 第三章 控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 第四章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性 第五章 線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解 第六章 線性定?？刂葡到y(tǒng)的綜合分析 4 ? 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法 ? 狀態(tài)空間描述常用的基本概念 ? 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 ? 線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程的建立 第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間 5 典 型 控 制 系 統(tǒng) 方 框 圖 執(zhí)行器 被控對象 傳感器 控制器 控制輸入 觀測 y 控制 u 被控過程 x 反饋控制 被 控 過 程 puuu?21nxxx ?, 21qyyy?21 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法 6 典型控制系統(tǒng) 由被控對象 、 傳感器 、 執(zhí)行器和控制器組成 。 被控過程 具有若干輸入端和輸出端 。 數(shù)學(xué)描述方法 ： 輸入－輸出描述 （ 外部描述 ） :高階微分方程 、 傳遞函數(shù)矩陣 。 狀態(tài)空間描述 （ 內(nèi)部描述 ） ：基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu) ， 是對系統(tǒng)的一種完整的描述 。 7 1) 輸入： 外部對系統(tǒng)的作用（激勵）； 控制： 人為施加的激勵； 輸入分控制與干擾。 1) 輸出： 系統(tǒng)的被控量或從外部測量到的系統(tǒng)信息 。若輸出是由傳感器測量得到的，又稱為 觀測 。 2) 狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)向量 ： 能完整描述和唯一確定系統(tǒng)時域行為或運(yùn)行過程的一組獨立（數(shù)目最?。┑淖兞糠Q為系統(tǒng)的狀態(tài)；其中的各個變量稱為狀態(tài)變量。當(dāng)狀態(tài)表示成以各狀態(tài)變量為分量組成的向量時，稱為狀態(tài)向量。 3) 狀態(tài)空間： 以狀態(tài)向量的各個分量作為坐標(biāo)軸所組成的 n維空間稱為狀態(tài)空間。 4) 狀態(tài)軌線： 系統(tǒng)在某個時刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間可以看作是一個點。隨著時間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)不斷變化，并在狀態(tài)空間中描述出一條軌跡，這種軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。 5) 狀態(tài)方程： 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階向量微分或差分方程稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它不含輸入的微積分項。一般情況下，狀態(tài)方程既是非線性的，又是時變的，可以表示為 6) 輸出方程： 描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程，當(dāng)輸出由傳感器得到時，又稱為觀測方程。輸出方程的一般形式為 7) 動態(tài)方程： 狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為動態(tài)方程，又稱為狀態(tài)空間表達(dá)式 。一般形式為 ? ?( ) ( ) , ( ) ,x t f x t u t t?? ?( ) ( ) , ( ) ,y t g x t u t t? 狀態(tài)空間描述常用的基本概念 8 或離散形式 ? ?? ?( ) ( ) , ( ) ,( ) ( ) , ( ) ,x t f x t u t ty t g x t u t t??? ?? ?1( ) ( ) , ( ) ,( ) ( ) , ( ) ,k k k kk k k kx t f x t u t ty t g x t u t t? ??9) 線性系統(tǒng)： 線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分或差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程。線性連續(xù)時間系統(tǒng)動態(tài)方程的一般形式為 10) 線性定常系統(tǒng)： 線性系統(tǒng)的 A， B， C， D或 G， H， C， D中的各元素全部是常數(shù)。即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y ( t) C ( t) x ( t) D ( t) u ( t)x t A t x t B t u t??( t ) A x ( t ) B u ( t )y ( t ) Cx ( t ) D u ( t )x ???? 或離散形式 ( 1 ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x k G x k H u ky k C x k D u k? ? ???A x B uy Cx D ux ???? 若有 9 分別寫出 狀態(tài)矩陣 A、控制矩陣 B、輸出矩陣 C、前饋矩陣 D : 已知： ?????????????nxxxx?21???????????????puuuu?21???????????????qyyyy?21?????????????nnnnnnaaaaaaaaaA??????212222111211???????????????npnnppbbbbbbbbbB??????212222111211???????????????qnqqnncccccccccC??????212222111211 11 12 121 22 212ppq q qpd d dd d dDd d d????????? 為書寫方便，常把連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)分別簡記為 S(A,B,C,D)和 S(G,H,C,D)。 11) 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 ： 線性系統(tǒng)的動態(tài)方程常用結(jié)構(gòu)圖表示。 nn?圖中， I為 ( )單位矩陣， s是拉普拉斯算子， z為單位延時算子。 10 ? 討論： 狀態(tài)變量的獨立性。 由于狀態(tài)變量的選取不是唯一的，因此狀態(tài)方程、輸出方程、動態(tài)方程也都不是唯一的。但是，用獨立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)應(yīng)該是唯一的，與狀態(tài)變量的選取方法無關(guān)。 動態(tài)方程對于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的，即系統(tǒng)中的任何一個變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來描述。 例 1－ 1 試確定圖 85中（ a）、（ b）所示電路的獨立狀態(tài)變量。圖中 u、 i分別是是輸入電壓和輸入電流， y為輸出電壓， xi為電容器電壓或電感器電流。 x3 解 并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨立變量 。 對圖 85（ a） ，不失一般性 ， 假定電容器初始電壓值均為 0， 有 11 因此 ， 只有一個變量是獨立的 ， 狀態(tài)變量只能選其中一個 ， 即用其中的任意一個變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為 。 實際上 ， 三個串并聯(lián)的電容可以等效為一個電容 。 對圖 （ b） x1 = x2， 因此兩者相關(guān) ， 電路只有兩個變量是獨立的 ， 即 （ x1和 x3） 或(x2和 x3)， 可以任用其中一組變量如 （ x2， x3） 作為狀態(tài)變量 。 13232 xcccx?? 13223 xcccx??12 令初始條件為零，對線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換，可以得到 11( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( )X s s I A B U sY s C s I A B D U s????? ? ?系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣（簡稱傳遞矩陣）定義為 DBAsICsG ??? ? 1)()(例 12 已知系統(tǒng)動態(tài)方程為 ????????????????????????????????????????????????????2121212121100110012010xxyyuuxxxx?? 試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 。 解 已知 0,10 01,10 01,20 10 ????????????????????? ?? DCBA 故 ???????????????????????????210)2(11201)(11ssssssAsI??????????????????????????????????????????? ?210)2(111001210)2(111001)( 1ssssssssBAsI 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 13 .1 由物理模型建動態(tài)方程 根據(jù)系統(tǒng)物理模型建立動態(tài)方程 線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程的建立 RLC 電路 例 13 試列寫如圖所示 RLC的電路方程 ， 選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應(yīng)的動態(tài)方程 ， 并就所選狀態(tài)變量間的關(guān)系進(jìn)行討論 。 解 有明確物理意義的常用變量主要有：電流 、 電阻器電壓 、 電容器的電壓與電荷 、 電感器的電壓與磁通 。 根據(jù)獨立性要求 ， 電阻器的電壓與電流 、 電容器的電壓與電荷 、電感器的電流與磁通這三組變量不能選作為系統(tǒng)的狀態(tài) 。 根據(jù)回路電壓定律 ei dtCdtdiLRi ??? ?1 電路輸出量 y 為 1cy e idtC?? ? 1) 設(shè)狀態(tài)變量為電感器電流和電容器電壓 ， 即 則狀態(tài)方程為 ix ?1 ?? idtCx 12eLxLxLRx 11 211 ?????121 xCx ?? 輸出方程為 2xy ?14 其向量 矩陣形式為 ? ? ?????????????????????????????????????????2121211001011xxyeLxxCLCRxx??簡記為 cxybeAxx????式中， ? ?10,01,011,2121 ???????????????????? ????????????????? cLbCLCRAxxxxxx ??? 2)設(shè)狀態(tài)變量為電容器電流和電荷，即 則有 ??? id txix21 ,???????????????????????????????????? ?????????212121 10,01011xxCyeLxxLCLRxx?? 3)設(shè)狀態(tài)變