【正文】 Taylor formula of different types and the corresponding proof。首先給出了幾種不同形式的泰勒公式并給出了相應(yīng)的證明。其次我們討論了泰勒公式的應(yīng)用問題，主要分析了泰勒公式在計算行列式，判斷級數(shù)斂散性，判斷函數(shù)凹凸性等方面的應(yīng)用，并輔以具體的例子進行說明，另外我們研究了泰勒公式中間點的漸近性問題，主要分區(qū)間長度趨于零和區(qū)間長度趨于無窮大兩種情況進行了討論，當(dāng)區(qū)間長度趨于零與無窮時中間點 分別?滿足的條件 與 。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。Key words：Taylor formula。其中劉瑜 [3]給出了泰勒公式在階行列式計算中的應(yīng)用問題；邱忠文 [5]討論了利用泰勒公式證明函數(shù)的凸凹性問n題；續(xù)鐵權(quán) [8]討論了泰勒公式“中間點”當(dāng) 的漸近性態(tài)問題；鮑春梅 [12]討論x??了當(dāng)區(qū)間長度趨于零與無窮時“中間點” 的漸近性問題。本文將系統(tǒng)地研究泰勒公式的若干問題，從泰勒公式的證明到泰勒公式的中間點的漸近性，最后再討論泰勒公式的應(yīng)用以及泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系等。0 ()nT()0!kf1,)??定義 [1]若函數(shù) 在點 存在直到 階導(dǎo)數(shù)，則有 = ，f0xn??fx0()nnTox??即，39。39。li()/(xafFx?????濟南大學(xué)畢業(yè)論文 5 2 泰勒公式泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分逼近法的精髓，在微積分學(xué)及相關(guān)的領(lǐng)域的各個方面都有著重要的應(yīng)用。nR0no定義 [1] 帶有 Lagrange 型余項的泰勒公式:函數(shù) 在含有 的某個開區(qū)間 內(nèi)具有直到 階導(dǎo)數(shù)，則對()fx0(,)ab1n?有 ,ab??f?0()f?0)fx???2200()!fx?? 00()!nnfx?+，()nRx其中 。()nR(1)1!nnf???以上，我們給出了泰勒公式的幾種形式，下面我們從拉格朗日中值定理出發(fā)，給出不同于課本上的證明泰勒公式的方法。0x()1?1()Rx則 。 20220()(()fxfxKx????()如何確定呢 對 式兩邊關(guān)于 求導(dǎo)，得1K?()x 。 20()Rxfx??()這樣 。 030()()fxffx???????介于 與 之間。這()fx0 1n?樣就自然地得到拉格朗日泰勒公式。濟南大學(xué)畢業(yè)論文 9 3 泰勒公式的應(yīng)用 第 2 部分我們給出了泰勒公式的幾個基本形式及泰勒公式的證明，在此基礎(chǔ)上，我們利用泰勒公式來解決一些問題，這些問題利用其他的方法往往比較困難，而運用泰勒公式可以使問題變得簡單。例 求 階行列式n濟南大學(xué)畢業(yè)論文 10 。 ()0000zyyzyDzy??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1()kzy?由()得， ， =1,2,…,n 時全都成立。若 ，有 。在實際p1pn???0?p1n??應(yīng)用中較困難是如何選取恰當(dāng)?shù)?( 中的 值) ？例如1pn??0?p(1) 若 ，此時 收斂，但 ；2p?21n?2limna???(2) 若 ，此時 收斂，但 。1+(2na?????0a?解: ，x?lne2211+lln()xao?，1na?22ll!，1n??2211lln()!ao?因此 ，從而有 ， 是關(guān)于( )122()l()naao???02limln???0n1n的 2 與 同收斂。4(32)xxd????解: ，2(11) ()!o???? 1223()32(fxxxx????2 21919+()+()88oo?????????????????。 11())nniiifxfx????()且等號成立當(dāng)且僅當(dāng) ，并且由此證明當(dāng) ( )時，12nx?? 0ix?,2n?。因為 令 ，則 ，0(,)ixn?? (lfx?1()fx???，由() 式得 =21()0fx???111l)lni i iii if?????12l()nx? ?。有以下結(jié)果：定理 [5] 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 有直到 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且()fx??,(0)am??1n?， ，則由 Taylor 公式所確定的“中間點”()0nfaffa????? (1)0n??滿足等式 。(1)0)li()!nnnf???通過比較得 ，即 。()10())(1)!limknkxaxAn?????????????其中 為非零常數(shù)， 為實數(shù)， ， 。()limkx???2)的證明與 1)類似，省略。由次定理，得以下定理。?x令 則 ，由引理 ，()10())!knkfaFf???()linxFx????。余下證明與 類似，故當(dāng) 時，有 。.).)(.1)若 .則定理 1 不再成立。使?(x?1(,)ax?? 。11lili!()xxa??????濟南大學(xué)畢業(yè)論文 19 以上我們討論了帶拉格朗日余項的泰勒公式“中間點”的漸近問題，得到了當(dāng)區(qū)間長度趨于零與無窮時的 滿足的條件，下面我們討論泰勒公式與泰勒級數(shù)的關(guān)系。 如果在定義 中抹去余項 ，那么在 附近 可用定義 式右邊的多()nRx0xf項式來近似代替，如果函數(shù) 在 處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時稱形式為f0?。()fx當(dāng) 在含有 的某個鄰域 內(nèi)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，可將 展成()fx0(,)ab()fx冪級數(shù)，其中 的乘冪的系數(shù)分別為 ，0(?()nx?0()fx， ， ， ， 在 處的泰勒1)!fx?0)2!f?? 01(!fx? ()fx0級數(shù)也是 展成 的冪級數(shù)。=dyx2x解：設(shè) 012na???? ?因為 ，所以 ,0xy所以 ，21nx? ? 112nyaxa????? ?將 ， 代入原方程得y?12212 1()n naxaxx???? ? ? ?= +3241213()a5423a??比較同次冪系數(shù)，得， ， ， ， ，10a?2231?4122513?61423aa??， ， ， ， ， ，?0a40a?6?從而， 。43()1+xf?0()nf解：利用泰勒公式對其 展開，可求得 的麥克勞林公式1()??31()x??， 。()fx0? 泰勒公式與泰勒級數(shù)除了上面的應(yīng)用以外在概率的計算方面也有應(yīng)用，這里就不再贅述。泰勒公式的應(yīng)用非常廣泛，不僅局限于本文介紹的求行列式，函數(shù)斂散性，函數(shù)凹凸性。謝謝!四年大學(xué)，所收獲的不僅僅是愈加豐厚的知識，更重要的是在閱讀、實踐中所培養(yǎng)的思維方式、表達能力和廣闊視野。在未來的日子里，我會更加努力的學(xué)習(xí)和工作，不辜負父母對我的殷殷期望！“長風(fēng)破浪會有時，直掛云帆濟滄海。就用這話作為這篇論文的一個結(jié)尾，也是一段生活的結(jié)束。感恩之情難以用言語量度，謹以最樸實的話語致以最崇高的敬意。四、參考文獻[1][M].[2]劉玉璉,(下冊)[M].北京:高等教育出版社，1992.[3]劉瑜,陳美燕, n 階行列式計算中的應(yīng)用[J].內(nèi)江師范學(xué)院報,2022,S1(73):222223 [4][J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版 ),2022,S1(9): 2325濟南大學(xué)畢業(yè)論文 24 [5][J].懷化學(xué)院學(xué)報 ,2022,2(9):9093[6][J]. 沈陽建筑大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2022,6(43):774776[7][J].山東建筑工程學(xué)院學(xué)報 ,1997,3(22):105107 [8]“中間點”的漸近性[J].青島教育學(xué)院學(xué)報 ,1996,2(8):2526[9]徐香勤，張小勇. 關(guān)于泰勒(Taylor)公式的幾點應(yīng)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2022，2(8):1617[10]邱忠文，[J].工科數(shù)學(xué)， 1993,3(49):151154[11]黃宗文，[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報，2022,3(7)：2123 [12] Taylor 中值定理“中間點”漸近性的討論[J].赤峰學(xué)院學(xué)報( 自然科學(xué)版)，2022,5(3):10[13]“中間點”的漸近性[J].青島職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報， 1996,2(8):2526[14]張樹義. 泰勒中值定理“中間