泰勒公式及應(yīng)用論文(文件)
【正文】 ，且等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立。當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故綜上，存在一點(diǎn)使。 證明：記，泰勒展開式，在兩端同時(shí)取上的積分,即 。分別令，并將所得兩式相減得： ，由的連續(xù)性知在上有最大值和最小值。 解： 由泰勒公式得: ，選取，因?yàn)?，而，所以收斂。因?yàn)椋? ， ，所以，因?yàn)?，所以廣義積分發(fā)散。 解：由及在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可知： ， 將在的某領(lǐng)域內(nèi)展開成二階泰勒公式：，在與之間又由題設(shè)在屬于含點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)小閉區(qū)間上連續(xù)，因此存在，使，于是 ,令，則。 解: 因?yàn)? ， ，故時(shí)有： ，而收斂；所以級(jí)數(shù)也收斂。 利用泰勒公式求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)在此我們討論的是一元函數(shù)的泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 。 解：因?yàn)?，兩邊積分得:由此可得的泰勒展開式: ，從而: 。令,使。通過本文對(duì)極限計(jì)算、斂散性的判斷、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、中值問題以及不等式的證明等幾個(gè)方面的論述，我們可以了解到高階（二階及二階以上）導(dǎo)數(shù)的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一。在這里我首先要感謝的就是向老師，感謝他對(duì)我的精心培養(yǎng)與指導(dǎo)，感謝他對(duì)我的關(guān)心和照顧。感謝我的同學(xué)董婷，丁美玲，感謝你們的探討與幫助。同時(shí)，感謝淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)系的所有教導(dǎo)過、幫助過我的師長。只要在解題訓(xùn)練中注意分析、研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn)，并把握上述處理原則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。因此，其誤差。綜上，我們有：為自然數(shù)時(shí)，且: 研究泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用這里所討論的是利用泰勒公式求函數(shù)值的近似值，利用的帶有拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林展開式得函數(shù)的近似計(jì)算式為： ，其誤差是余項(xiàng)。 要點(diǎn)：當(dāng)在點(diǎn)處具有任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)，由定理1可推出當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)有泰勒展開式，據(jù)此，若求出 在點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)值，則求出，為此可將在點(diǎn)作泰勒展開。1. 若收斂,當(dāng)時(shí),有收斂。 注1 若條件“在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”，改為“在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)有界”，結(jié)論照樣成立。證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 解：因?yàn)?所以是瑕點(diǎn)。 利用泰勒公式討論積分及級(jí)數(shù)的斂散性在判定廣義積分?jǐn)可⑿詴r(shí)，通常選取廣義積分進(jìn)行比較，在此通過研究無窮小量的階來有效地選擇中的值，從而判定的斂散性，我們要注意到如果收斂，則也收斂。 例5 設(shè)函數(shù)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且,證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使。 證明：由知：，又存在,故連續(xù), 所以
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