【正文】 圓內(nèi)部繞大圓圓周一周，問小圓自身轉(zhuǎn)了幾周？如果在大圓的外部，小圓自身轉(zhuǎn)幾周呢？ 把大圓剪斷拉直。當(dāng)小圓在大圓內(nèi)部滾動時自轉(zhuǎn)的方向與滾動的轉(zhuǎn)向相反，所以小圓自身轉(zhuǎn)了1周。也可以套用下列公式： 兩圓圓心距/轉(zhuǎn)動者半徑=轉(zhuǎn)動者切另一圓時的自轉(zhuǎn)數(shù)!!【67】 1元錢一瓶汽水，喝完后兩個空瓶換一瓶汽水，問：你有20元錢，最多可以喝到幾瓶汽水？40瓶，20 10 5 2 1 1=39， 這時還有一個空瓶子，先向店主借一個空瓶，換來一瓶汽水喝完后把空瓶還給店主。 （所以最后一個人可以看見前面9個人頭上帽子的顏色，而最前面那個人誰的帽子都看不見。讓三個人從前到后站成一排，給他們每個人頭上戴一頂帽子。事實上他們?nèi)齻€戴的都是黑帽子，那么最前面那個人一定會知道自己戴的是黑帽子。 我們把這個問題推廣成如下的形式： “有若干種顏色的帽子，每種若干頂。一直往前問，那么一定有一個人知道自己所戴的帽子顏色。 這個信息具體地可以是象上面經(jīng)典的形式，列舉出每種顏色帽子的數(shù)目“有3頂黑帽子，2頂白帽子，3個人”，也可以是“有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個人”，甚至連具體人數(shù)也可以不知道，“有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1”，這時候那個排在最后的人并不知道自己排在最后——直到開始問他時發(fā)現(xiàn)在他回答前沒有別人被問到，他才知道他在最后。當(dāng)然他們的視力也很好，能看到前方任意遠的地方。 5)后面的人不能和前面的人說悄悄話或者打暗號。 但是下面這幾題是合理的題目：1)3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子，10個人。5)有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個人。但是3)中的n是個抽象的數(shù)，考慮一下怎么解決這個問題，對解決一般的問題大有好處。但是如果倒數(shù)第二人看見前面至少有一頂黑帽，他就無法作出判斷——他有可能戴著白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人無法回答“知道”；他自然也有可能戴著黑帽。這樣的推理繼續(xù)下去，對于隊列中的每一個人來說就成了： “在我后面的所有人都看見了至少一頂黑帽，否則的話他們就會按照相同的判斷斷定自己戴的是黑帽，所以如果我看見前面的人戴的全是白帽的話，我頭上一定戴著我身后那個人看見的那頂黑帽。但是其實這里沒有循環(huán)論證，這是類似數(shù)學(xué)歸納法的推理，每個人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而對于最后一個人來說，他的身后沒有人，所以他的推理不依賴于其他人的推理就可以成立，是歸納中的第一個推理?！? 當(dāng)然第一個人的初始推理相當(dāng)簡單：“隊列中一定有人戴這種顏色的帽子，現(xiàn)在我看不見前面有人戴這顏色的帽子，那它只能是戴在我的頭上了。100種顏色的5050頂帽子給5000人戴，前面99種顏色的帽子數(shù)量是1 …… 99=4950，所以隊列中一定有第100種顏色的帽子（至少有50頂），所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那個看不見顏色100帽子的人就可以斷定自己戴著這種顏色的帽子。但是這并不是說在詢問中一定是由他來回答“知道”的，因為還可能有其他的方法來判斷自己頭上帽子的顏色。后來某個好事 之徒引進了一只新的山羊，比它還要重出3磅?，F(xiàn)在要講一講本題的奇妙之處。m1是輕山羊的重量。 , 加油1/6圈給給2號飛機, 2號飛機向前飛行X圈, 則3號飛機可向前繼續(xù)送油, 1/6 –2X 圈. 此時3號剛好飛回, = 1/62X時候獲得最大. X =1/18. 1/6 1/18= 2/ 9. 少于1/4. 所以不能完成. 類比推,當(dāng)為4架時, 恰好滿足條件.【73】在9個點上畫10條直線，要求每條直線上至少有三個點？, O代表空格. X O X O X O X X X O X O X O X 得到10條.【74】一個岔路口分別通向誠實國和說謊國。請問應(yīng)該怎么問？ 我要到你的國家去,請問怎么走?然后走向路人所指方向的相反方向.【75】在一天的24小時之中，時鐘的時針、分針和秒針完全重合在一起的時候有幾次？都分別是什么時間？你怎樣算出來的？ 只有兩次 假設(shè)時針的角速度是ω（ω=π/6每小時），則分針的角速度為12ω，秒針的角速度為72ω。由于11與719互質(zhì)，記12小時/（11*719）為時間單位Δ，則分針與時針重合當(dāng)且僅當(dāng) t=719kΔ k∈Z秒針與時針重合當(dāng)且僅當(dāng) t=11jΔ j∈Z而719與11的最小公倍數(shù)為11*719，所以若t=0時三針重合，則下一次三針重合必然在t=11*719*Δ時，即t=12點。只有在正12點和0點時才會重。誠實國永遠說實話，說謊國永遠說謊話。聰明的老板娘毫不含糊，用這兩個勺子在酒缸里舀酒，并倒來倒去，居然量出了2兩酒，聰明的你能做到嗎？ 7兩倒入11兩, 再用7兩倒入11兩裝滿, 7兩中剩余3兩, 倒出11兩, 將3兩倒入11兩, 用7兩兩次倒入11兩裝滿, 7兩中剩余6兩, 將11兩倒出, 將6兩倒入, 然后用7兩倒入11兩, 剩余2兩. 于是得到. 11,04,74,00,411,48,78,01,71,00,111,15,75,00,511,59,79,02,7【72】已知： 每個飛機只有一個油箱， 飛機之間可以相互加油（注意是相互，沒有加油機） 一箱油可供一架飛機繞地球飛半圈，問題：為使至少一架飛機繞地球一圈回到起飛時的飛機場，至少需要出動幾架飛機？（所有飛機從同一機場起飛，而且必須安全 返回機場，不允許中途降落，中間沒有飛機場） 需要4飛機. 假設(shè)需要三架飛機,編號為1,2,3. 三架同時起飛, 飛到1/8 圈處, 1號飛機,給2號,3號,飛機各加上1/8 圈的油, 剛好飛回基地,此時1號,2號滿油,繼續(xù)前飛。”如果他說得不錯，那么這兩只山羊至少要有多大的逼近速度，才能相互撞破腦殼？你能算出來 嗎？ 1英尺（ft）=（m） 1磅（lb）=（kg） 通過實驗得到撞破腦殼所需要的機械能是mgh=（30*）**（20*）=（J）對于兩只山羊撞擊瞬間來說，比較重的那只僅僅是站在原地，只有較輕的山羊具有速度，而題目中暗示我們，兩只羊僅一次碰撞致死?？墒怯幸惶欤^輕的那只山羊站在陡峭的山路頂上，向它的競爭對手猛撲過 去，那對手站在土丘上迎接挑戰(zhàn)，而挑戰(zhàn)者顯然擁有居高臨下的優(yōu)勢。條件是：每次拿球者至少要拿1個，但最多不能超過5個，問：如果你是最先拿球的人，你該拿幾個？以后怎么拿就能保證你能得到第100個乒乓球？ 拿出4個, 然后按照6的倍數(shù)和另外一人分別拿球. 即 另外一人拿1個, 我拿5個 另外一人拿2個, 我拿4個 另外一人拿3個, 我拿3個 另外一人拿4個, 我拿2個 另外一人拿5個, 我拿1個. 最終100個在我手上.首先拿4個 別人拿n個你就拿6－n個【70】盧姆教授說：“有一次 我目擊了兩只山羊的一場殊死決斗，結(jié)果引出了一個有趣的數(shù)學(xué)問題。 最后要指出的一點是，上面我們只是論證了，如果我們可以根據(jù)各種顏色帽子的數(shù)量和隊列中的人數(shù)判斷出在隊列中至少有一頂某種顏色的帽子，那么一定有一人可以判斷出自己頭上的帽子的顏色。 題2)也一樣，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給8個人戴，那么隊列中一定至少有一頂白帽子，因為其它顏色加起來一共才7頂，所以隊列中一定會有人回答“知道”。現(xiàn)在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看見了此種顏色的帽子。事實上很明顯，第一個說出自己頭上是什么顏色帽子的那個人，就是從隊首數(shù)起的第一個戴黑帽子的人，也就是那個從隊尾數(shù)起第一個看見前面所有人都戴白帽子的人。最后那個人可以回答“知道”當(dāng)且僅當(dāng)他看見的全是白帽，所以他回答“不知道”當(dāng)且僅當(dāng)他至少看見了一頂黑帽。 現(xiàn)在假設(shè)最后那個人的回答是“不知道”，那么輪到問倒數(shù)第二人。 大家可以先不看我下面的分析，試著做做這幾題。3)n頂黑帽子，n1頂白帽子，n個人（n0）。比如有99頂黑帽子，99頂白帽子，2個人，無論怎么戴，都不可能有人知道自己頭上帽子的顏色?？偠灾?，只要理論上根據(jù)邏輯推導(dǎo)得出來，他們就一定推導(dǎo)得出來。 3)剩下的沒有戴在大家頭上的帽子當(dāng)然都被藏起來了，隊伍里的人誰都不知道都剩下些什么帽子。 2)“有若干種顏色的帽子，每種若干頂，有若干人”這個信息是隊列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等。每個人都看不見自己戴的帽子的顏色，而且每個人都看得見在他前面所有人頭上帽子的顏色，卻看不見在他后面任何人頭上帽子的顏色。那么中間那個人會作如下推理：“假設(shè)我戴了白帽子，那么最后那個人就會看見前面兩頂白帽子，但總共只有兩頂白帽子，他就應(yīng)該明白他自己戴的是黑帽子，現(xiàn)在他說不知道，就說明我戴了白帽子這個假定是錯的，所以我戴了黑帽子。（所以最后一個人可以看見前面兩個人頭上帽子的顏色，中間那個人看得見前面那個人的帽子顏色但看不見在他后面那個人的帽子顏色，而最前面那個人誰的帽子都看不見。假設(shè)最前面那個人一定會知道自己戴的是黑帽子。讓10個人從矮到高站成一隊，給他們每個人頭上戴一頂帽子。 這一題非常有迷惑性，小圓在外部時其實是3圈，你可以拿個硬幣試試可以把圓看成一根繩子，長繩是短繩的2倍長，假設(shè)長繩開始接口在最底下，短繩接口在長繩接口處，然后短繩開始順時針繞，當(dāng)短繩接口對著正左時，這時其實才繞了長繩的1/4，轉(zhuǎn)了180 90度，所以繞一圈是270*4=360*3 。因為直線長就是大圓的周長，是小圓周長的2倍，所以小圓要滾動2圈。原因是A看到B第一次沒打耳光，就知道B也一定看到了有帶黑帽子的人，可A除了知道B帶黑帽子外，其他人都是白帽子，就可推出他自己是帶黑帽子的人！同理B也是這么想的，這樣第二次熄燈會有兩個耳光的聲音。第一次關(guān)燈，沒有聲音。 1 4 9【64】想象你在鏡子前，請問，為什么鏡子中的影像可以顛倒左右，卻不能顛倒上下？ 因為鏡子和你平行. 如果鏡子與人不平行, 就可以顛倒上下.實際上鏡子并沒有顛倒左右，而是顛倒前后【65】一群人開舞會，每人頭 上都戴著一頂帽子。可是當(dāng)初他 們?nèi)齻€人一共付出$30那么還有$1呢？ 應(yīng)該是三個人付了9*3=27，其中2付給了小弟，25付給了老板【59】有兩位盲人，他們都各自買了兩對黑襪和兩對白襪，八對襪了的布質(zhì)、大小完全相同， 而每對襪了都有一張商標(biāo)紙連著。 而此時總共走了：200 =， 所以可以賣蘿卜的數(shù)量就是1000466=534.【54】10箱黃金，每箱100塊，每塊一兩，有貪官把某一箱的每塊都磨去一錢，請稱一次找到不足量的那個箱子 編號為1到100箱, 每箱取跟編號相同數(shù)目的黃金, 稱量. 少多少錢,就是多少編號的箱子不足. 【56】有十瓶藥，每瓶里都裝有100片藥（仿佛現(xiàn)在裝一百片的少了，都是十片二十片的，不管，咱們就這么來了），其中有八瓶里的藥每片重10克，另有兩瓶里的藥每片重9克。 那么在走到某一個位置的時候蘿卜的總數(shù)會恰好是1000根。（21－15）=72247?！?（1）27頭牛6天所吃的牧草為：276=162（這162包括牧場原有的草和6天新長的草?！边壿媽W(xué)家沉思片刻，即向一戰(zhàn)士發(fā)問，然后開門從容離去?，F(xiàn)在只剩下“3月4日 3月5日 3月8日 9月1日 9月5日”五組日期。 3）進一步分析“小明說：如果我不知道的話，小強肯定也不知道”，結(jié)合第2步結(jié)論，可知小強得知N后也絕不可能知道。【49】小明和小強都是張老師的學(xué)生，張老師的生日是M月N日，2人都知道張老師的生日是下列10組中的一天，張老師把M值告訴了小明，把N值告訴了小強，張老師問他們知道他的生日是那一天嗎？3月4日 3月5日 3月8日6月4日 6月7日9月1日 9月5日12月1日 12月2日 12月8日小明說：如果我不知道的話，小強肯定也不知道小強說：本來我也不知道，但是現(xiàn)在我知道了小明說：哦，那我也知道了請根據(jù)以上對話推斷出張老師的生日是哪一天 答案應(yīng)該是9月1日。第一只猴子扔掉1個，拿走624個，余2496個；第二只猴子扔掉1個，拿走499個，余1996個；第三只猴子扔掉1個，拿走399個，余1596個；第四只猴子扔掉1個，拿走319個，余1276個；第五只猴子扔掉1個，拿走255個，余4堆，每堆255個。 下面決定的就是1號會選擇一個什么數(shù)，他仍然不會選擇一個太大或太小的數(shù)，因為那樣仍然是自己處于不利的地位（24號肯定不會留情面的），100/6=（為什么除以6？因為5號會隨機選擇一個數(shù)，對1號來說要盡可能的靠近中央，24好也是如此，而且正因為24號如此，1號才如此... ...），最終必然是在117種選擇的問題。它有先動優(yōu)勢。這是一伙每人都只為自己打算的海盜。他們當(dāng)然也不愿意自己被扔到海里。這是一些講民主的海盜（當(dāng)然是他們自己特有的民主），他們的習(xí)慣是按下面的方式進行分配：最厲害的一名海盜提出分配方案，然后所有的海盜（包 括提出方案者本人）就此方案進行表決。想出答案再想想這個題說明什么問題。為方便交通，他們準(zhǔn)備修鐵路。假設(shè)別人蒙住你的眼睛，而你的手又摸不出硬幣的 反正面?？招那虮砻鎴D有相同顏色的油漆。嚴(yán)肅地說，這道題目非常有趣，值得認真推敲?？傊谝粋€不走運的時刻，他就下述問題征詢?nèi)藗兊囊庖?一根繩子穿過無摩擦力的滑輪，在其一端懸掛著一只10磅重的砝碼，繩子的另一端有