小波分析的基本理論(文件)
【正文】 )(? wf)(? wfGabor 變換 ? Fourier變換的缺點(diǎn)使得 FT在分析信號(hào)的瞬時(shí)特性方面顯得軟弱無(wú)力 。（大致反映 f(x)在時(shí)間窗的局部信息） (時(shí)頻聯(lián)姻 ) ???????? dxxietxgxftfG ?? )0()(:)0,()0( txg ???????? 10)0( dttxg )(xg? 在統(tǒng)計(jì)意義下 ， 定義其時(shí) 頻窗中心為： ? 又定義其 時(shí) 頻窗半徑為： ? 則其時(shí) 頻窗大小為： ??Rdttgtgt 2|)(|22||||1:* ??Rdgg???? 2|)(?|22||?||1:*? ???Rdttgttgg 21)2|)(|2)*((2||||1:? ???Rdggg 21)2|)(?|2)*((2||?||1:? ????????? ]*,*[ gtgt ]?*,?*[ gg ???? ??dwwiewgwfdxxietxgxftfG )()(?)(?)0()(:)0,( ???? ????????????? ??圖 時(shí) 頻盒（ Heisenberg長(zhǎng)方形） ? 只要適當(dāng)?shù)剡x擇窗口函數(shù)，就可以通過(guò)信號(hào)的加窗Fourier變換獲得在 2 時(shí)間區(qū)域內(nèi)的信息；另一方面，一旦窗口函數(shù)取定，其窗口大小也隨之確定，其時(shí) 頻窗的大小和形狀都就一定了，時(shí)間、頻率分辨率也隨之確定。這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足 非平穩(wěn)信號(hào)分析或突變信號(hào)處理的 要求。為滿足一般信號(hào)的時(shí)頻分析要求，有必要尋找一種可調(diào)時(shí)頻窗的分析方法。 ? 小波變換具有時(shí)頻局部化特性，究其原因是基函數(shù) 的支撐與 a有關(guān)。其中基函數(shù)支撐集的大小決定了其時(shí)間分辨率的大小。下式 f 的級(jí)數(shù)表示稱為小波級(jí)數(shù)。 與此同時(shí) ， 多尺度分析的數(shù)學(xué)與物理意義 ， 已遠(yuǎn)不只是一種小波構(gòu)造的 “ 輔助 ” 工具 ， 它本身有與小波同樣重要的內(nèi)涵 。 然而在一般的圖象中 ， 需要理解的各種結(jié)構(gòu)擁有不同的大小 ，因此不可能預(yù)先定義一個(gè)最佳的分辨率來(lái)描述它們 。這種由粗到細(xì)的分析過(guò)程已經(jīng)廣泛地應(yīng)用在立體視覺(jué)匹配和模板匹配中，并且表明與人眼的低級(jí)視覺(jué)處理是很相似的。 這些近似是在不同尺度下得到的 ， 故有多尺度分析的名稱 。如果記 ? 則 Vj 是低頻率函數(shù)集 ， 滿足如下性質(zhì)： nZkZjjnjkj kxx ???? ,2/, )}2(2:)({ ??}|)({ , nkj Zkx ??|)2(?|2|)()?(| 2/, jjnkj ???? ??}|{: , nkjj Zks panW ?? ?}|)({ , nkj Zkx ?? ZjjW ?}{?? ????? ?? 112 )( jjjn WWWRLjjj WWV ??? ? 1?1 Vj ? Vj+1 , j?Z。前者將空間 L2(Rn)分成彼此相鄰的“同心環(huán)層”，后者如同一列不斷包含的“同心球”，不斷張大，最后充滿整個(gè)空間 L2(Rn)。這個(gè)構(gòu)造小波的框架就是著名的 MRA。 比較簡(jiǎn)單的方式稱為可分離的二維小波分解 ， 即在水平和豎直方向各自獨(dú)立地進(jìn)行一次一維小波變換 。 信號(hào)的小波變換將頻譜按倍頻程分割 ， 小波變換的結(jié)果是原始信號(hào)在一系列倍頻程劃分的頻帶上的多個(gè)高頻帶數(shù)據(jù)和一個(gè)低頻帶數(shù)據(jù) 。 高頻帶系列則分別是圖象在不同尺度 、 不同分辨率 、 不同方向上的細(xì)節(jié)信息 。 其中低頻帶表示由小波變換分解級(jí)數(shù)決定的最大尺度 、 最小分辨率下對(duì)原始圖象的低通逼近 。這種方式被認(rèn)為符合人體視覺(jué)系統(tǒng)特性 ， 且計(jì)算量較小 ， 因此在小波圖象壓縮中較為常用 。這一算法在小波分析中的地位相當(dāng)于 Fourier分析中的 FFT，奠定了 DWT在信號(hào)處理中的應(yīng)用基礎(chǔ)。如果有，我們就可以由條件： ? 倒求小波 。 并且
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