【正文】 .= tttt uC P IC P IC P I 21 ??? ?? ???圖 左邊是 CPI序列的實(shí)際值和擬合值，右邊是殘差序列 83 由 圖 AR(1) 模型比較好的擬合了 CPI序列，回歸方程的殘差序列基本上也是一個(gè)零均值的平穩(wěn)序列。 一個(gè)平穩(wěn)序列的數(shù)字特征 ， 如均值 、 方差和協(xié)方差等是不隨時(shí)間的變化而變化的 ， 時(shí)間序列在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)性服從一定的概率分布 。 非平穩(wěn)時(shí)間序列在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)規(guī)律是不同的 ， 難以通過序列已知的信息去掌握時(shí)間序列整體上的隨機(jī)性 。 注意到像圖 列常呈指數(shù)趨勢(shì)增長 ， 但是指數(shù)趨勢(shì)取對(duì)數(shù)就可以轉(zhuǎn)換為線性趨勢(shì) 。如果 yt 能夠通過去勢(shì)方法排除確定性趨勢(shì)，轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，稱為退勢(shì)平穩(wěn)過程。 90 實(shí)際上 ， 在 關(guān)問題暗含著殘差序列是一個(gè)平穩(wěn)序列 。 一個(gè)可行的辦法是先把一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過某種變換化成一個(gè)平穩(wěn)序列 ， 根據(jù) ， 并利用變量之間的相關(guān)信息 ， 描述經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的變化規(guī)律 。 93 單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的次數(shù) 。 非平穩(wěn)序列的單位根檢驗(yàn) 檢查序列平穩(wěn)性的標(biāo)準(zhǔn)方法是單位根檢驗(yàn) 。 ttt uyy ?? ? 1?ttt uayy ??? ? 1?ttt utayy ???? ? ?? 1() () () 1. DF檢驗(yàn) 為說明 DF檢驗(yàn)的使用 ， 先考慮 3種形式的回歸模型 96 (1) 如果 1 ? 1， 則 yt 平穩(wěn) （ 或趨勢(shì)平穩(wěn) ） 。 tttt uyyy ???? ? 1ttt uyy ???? )1( ?97 因此 ， 判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn) ， 可以通過檢驗(yàn) ? 是否嚴(yán)格小于 1來實(shí)現(xiàn) 。 ?????0:0:10??HH99 Mackinnon進(jìn)行了大規(guī)模的模擬 ， 給出了不同回歸模型 、 不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值 。如果序列存在高階滯后相關(guān) ， 這就違背了擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同分布的假設(shè) 。判斷 ? 的估計(jì)值 是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè) ， 進(jìn)而判斷一個(gè)高階自相關(guān)序列 AR(p) 過程是否存在單位根 。 在實(shí)際應(yīng)用中 ， 還需要兼。 這使我們能夠很方便的在設(shè)定的顯著性水平下判斷高階自相關(guān)序列是否存在單位根 。 100 2. ADF檢驗(yàn) 考慮 yt 存在 p階序列相關(guān) ， 用 p階自回歸過程來修正 ， 在上式兩端減去 yt1， 通過添項(xiàng)和減項(xiàng)的方法 ， 可得 其中 tptpttt uyyyay ?????? ??? ??? ?2211tpiititt uyyay ???? ?????111 ΔΔ ??11?? ??pii?? ?????pijji1??101 ADF檢驗(yàn)方法通過在回歸方程右邊加入因變量 yt 的滯后差分項(xiàng)來控制高階序列相關(guān) tpiititt uyyy ??? ????11 ?? ??tpiititt uyayy ???? ????11 ?? ??tpiititt uytayy ????? ????11 ?? ???() () () 102 擴(kuò)展定義將檢驗(yàn) () 原假設(shè)為：至少存在一個(gè)單位根；備選假設(shè)為：序列不存在單位根 。 這一檢驗(yàn)被稱為 DickeyFuller檢驗(yàn) (DF檢驗(yàn) )。 98 其中： ? =? 1， 所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為 可以通過最小二乘法得到 ? 的估計(jì)值 ， 并對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法 ， 構(gòu)造檢驗(yàn)顯著性水平的 t 統(tǒng)計(jì)量 。 ()式可寫成： 顯然 yt 的差分序列是平穩(wěn)的 。 ADF檢驗(yàn)和 PP檢驗(yàn)方法出現(xiàn)的比較早 ， 在實(shí)際應(yīng)用中較為常見 ， 但是 ， 由于這 2種方法均需要對(duì)被檢驗(yàn)序列作可能包含常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)變量項(xiàng)的假設(shè) ， 因此 ， 應(yīng)用起來帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前 2種方法帶來的不便 ， 在剔除原序列趨勢(shì)的基礎(chǔ)上 ， 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列是否存在單位根 ， 應(yīng)用起來較為方便 。 一般而言 ， 表示存量的數(shù)據(jù) ， 如以不變價(jià)格資產(chǎn)總值 、 儲(chǔ)蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為 2階單整 I(2) ；以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額 、 收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為 1階單整 I(1) ；而像利率 、 收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為 0階單整 I(0) 。 定義如下： 定義： 如果序列 yt ， 通過 d 次差分成為一個(gè)平穩(wěn)序列 ， 而這個(gè)序列差分 d – 1 次時(shí)卻不平穩(wěn) ， 那么稱序列 yt為 d 階單整序列 ， 記為 yt ～ I(d)。 91 殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列的回歸被稱為偽回歸 ，這樣的一種回歸有可能擬合優(yōu)度 、 顯著性水平等指標(biāo)都很好 ， 但是由于殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列 ， 說明了這種回歸關(guān)系不能夠真實(shí)的反映因變量和解釋變量之間存在的均衡關(guān)系 ， 而僅僅是一種數(shù)字上的巧合而已 。 若令 a = 0， y0=0， 則由式 ()生成的序列 yt， 有 var(yt) = t? 2（ t = 1, 2, ?, T） ， 顯然違背了時(shí)間序列平穩(wěn)性的假設(shè) 。 5. 非平穩(wěn)序列和單整 88 一般時(shí)間序列可能存在一個(gè)非線性函數(shù)形式的確定性時(shí)間趨勢(shì)，例如可能存在多項(xiàng)式趨勢(shì)： () t = 1, 2, ?, T 同樣可以除去這種確定性趨勢(shì)，然后分析和預(yù)測(cè)去勢(shì)后的時(shí)間序列。 86 圖 中國 1978年～ 2020年的生產(chǎn)法 GDP序列 87 描述類似圖 法 ， 一種方法是包含一個(gè)確定性時(shí)間趨勢(shì) () 其中 ut 是平穩(wěn)序列； a + ? t 是線性趨勢(shì)函數(shù) 。 167。 因此，在實(shí)際建模中，可以借助 ARMA(p,q)模型去擬合一些具有平穩(wěn)性的經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律。 首先觀察 ?CPI序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的圖形 : 圖 ?CPI序列的相關(guān)圖 82 從圖 ?CPI序列的自相關(guān)系數(shù)是拖尾的，偏自相關(guān)系數(shù)在 2階截尾。 因此 ， 在實(shí)際的模型識(shí)別中 ， 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)只能作為模型識(shí)別過程中的一個(gè)參考 ， 并不能通過它們準(zhǔn)確的識(shí)別模型的具體形式 。 且對(duì)于一個(gè) AR(p) 模型 ， ?k,k 的最高階數(shù)為 p， 也即 AR(p) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)是 p 階截尾的 。 所以 ， 可以考慮使用偏自相關(guān)系數(shù)?k,k， 以便更加全面的描述自相關(guān)過程 AR(p)的統(tǒng)計(jì)特征 。 77 由此可知 ， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)會(huì)由于 g1 , g2 , … , gp及 k取值的不同 ， 呈現(xiàn)出不同的衰減形式 ， 可能是指數(shù)式的衰減 ， 也可能是符號(hào)交替的震蕩式的衰減 。 ?????????????????????qkqkkrqqkqkkkk00101221110 ???????????75 MA(q) 的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著 q 的增加變得越來越復(fù)雜 ， 很難給出一個(gè)關(guān)于 q 的一般表達(dá)式 ， 但是 ， 一個(gè) MA(q) 模型對(duì)應(yīng)于一個(gè)AR(∞) 模型 。因此，如果我們能求出關(guān)于 ? k , k的估計(jì)值，并檢驗(yàn)其顯著性水平，就能夠確定時(shí)間序列 ut 的自相關(guān)的階數(shù)。如果 r1 ? 0 ，意味著序列 ut 是一階自相關(guān)。在實(shí)際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)時(shí)間序列 ut 的數(shù)據(jù)，根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的樣本特征，來推斷其總體（真實(shí)）特征。 69 為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值 ， 需對(duì) EViews如何為 ARMA設(shè)置系數(shù)多些了解 。 可以選擇 、 、 以將所有初值設(shè)為零 。 68 為控制 ARMA估計(jì)初值 ， 在方程定義對(duì)話框單擊Options。 EViews自行確定初值。 tt LcuL ?)()( ????67 4. ARMA(p,q)模型的估計(jì)選擇 EViews估計(jì) AR模型采用非線性回歸方法 ， 對(duì)于 MA模型采取回推技術(shù) (Box and Jenkins,1976)。 一般 AR(p) 模型平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。含有 AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的 AR系數(shù)。 建立方程 ， 輸入 LS c ar(1) ma(1) tt ucLS ??11 ?? ??? tttt uu ????63 估計(jì)輸出顯示： 64 11111111)()(??????????????????????????????ttttttttttSLSLucSL????????估計(jì)方程可寫為： t = () t = () （ ） R2= . = 也可寫為： tt uSL ?0 1 8 ??11 ?? ???? tttt uu ??65 2. ARMA(p,q)模型的輸出形式 一個(gè)含有 AR項(xiàng)的模型有兩種殘差：第一種是無條件殘差 ， 第二種殘差是估計(jì)的一期向前預(yù)測(cè)誤差 。 60 建立如下模型： t = 1, 2, ?, T 估計(jì)輸出結(jié)果顯示為： ttt usrcsr ??? ? 1?61 圖 藍(lán)線是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列 sr，紅線是 AR(1)模型的擬合值 從圖 1991年～ 1994年之間變化很大 ， 而后逐漸變小 ， 基本在 3%上下波動(dòng) 。 ARMA(p,q)模型的估計(jì) 1. ARMA(p,q)模型的輸入形式 59 例 利用 AR(1) 模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律 本例取我國上證收盤指數(shù) （ 時(shí)間期間： 1991年 1月～ 2020年 8月 ） 的月度時(shí)間序列 S作為研究對(duì)象 ， 用AR(1)模型描述其變化規(guī)律 。在上面 AR定義中，我們已見過這種方法的例子，這對(duì) MA也同樣適用。 tqqt LLLu ????? )1( 221 ?????? ?() ???????????? ttEt 0)(201 221 ????? qq zzz ??? ?56 3． ARMA(p,q) 模型的平穩(wěn)性條件 ARMA(p,q) 模型包括了一個(gè)自回歸模型 AR(p)和一個(gè)移動(dòng)平均模型 MA(q) 或者以滯后算子多項(xiàng)式的形式表示 qtqttptptt uucu ???? ???????? ??????? ?? 11