如何使飲料罐制造用材最省(文件)
【正文】 π ( R2 ? r12 )sin θ π R 3 ? r13 2+ π ( R + r1 ) + λπ R H + ?Vα 3 π π R2 FR 39。 = π R H + ?V = 0 3 α 求解得 λ = ?2 R r1 =α R ?1 sin θ 3α α 3 3α 2 R 2 3α R 3α V 3 R=( + 3α ? ? 2) R + ? ? +1 sin θ sin θ sin θ π sin 3 θ 由數(shù)學(xué)軟件解得具體的值為： R = ， r1 = ， H = ， H = ； 由前面測(cè)得的數(shù)據(jù)可知，高與半徑比值為 4時(shí)較美觀，故現(xiàn)在的結(jié)論不是最優(yōu)，須進(jìn)一步考慮厚度。 為了便于計(jì)算，罐側(cè)面材料的體積均認(rèn)為是側(cè)面積乘于厚度。 考慮到實(shí)際情況，罐蓋需要一定面積，便于安裝拉口，同時(shí)感覺(jué)美觀，故限制罐蓋 半徑 r1 在一定范圍內(nèi)，即 2 ≤ r1 ≤ 3 ，其它條件不變，由程序（見(jiàn)附件 8）計(jì)算得 R = ， H = ， θ = ， R 1 = ， h = ， V = s H 2 從外觀來(lái)看，這個(gè)飲料罐不美觀，故考慮增加約束條件，圓柱體的直徑與整個(gè)罐的 高度比值為黃金分割比 ，由程序計(jì)算得 R = ， H = ， θ = ， R = ， h = ， V = s H 若僅考慮圓柱體的直徑與其高度的比值為黃金分割比 ，由程序計(jì)算得 R = ， H = ， θ = ， R = ， h = ， V = s H 從節(jié)省材料同時(shí)兼顧美觀來(lái)考慮，選擇數(shù)據(jù)組 R = ， H = ，θ = ， R = ， h = ， V = 比較合適，這要比問(wèn)題四模型中的最優(yōu)設(shè)計(jì)還要節(jié)省材料。 鋁易拉罐蓋輕量化進(jìn) 展也很明顯。 合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 18 頁(yè) 共 20 頁(yè) 結(jié)論 我們對(duì)日程生活中常用的易拉罐測(cè)量不難發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)易拉罐都是同樣的尺寸和設(shè)計(jì)，容積都在 355ml 左右，不難發(fā)現(xiàn)易拉罐的設(shè)計(jì)有一定的規(guī)律，其實(shí)這里面也蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)的最優(yōu)化思想。 合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 19 頁(yè) 共 20 頁(yè) 致謝 本研究及學(xué)位論文是在我的導(dǎo)師周永強(qiáng)老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的。 在論文即將完成之際，我的心情無(wú)法平靜，從開(kāi)始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長(zhǎng)、同學(xué)、朋友給了我無(wú)言的幫助，在這里請(qǐng)接受我誠(chéng)摯的謝意 !最后我還要感謝培養(yǎng)我長(zhǎng)大含辛茹苦的父母，謝謝你們 ! 最后，再次對(duì)關(guān)心、幫助我的老師和同學(xué)表示衷心地感謝！ 合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 20 頁(yè) 共 20 頁(yè) 參考文獻(xiàn) [1] 姜啟源著 .數(shù)學(xué)模型 .北京：高等教育出版社， 2020 . [2] 葉其孝 .數(shù)學(xué)建模教育與國(guó)際數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 .中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)《工科數(shù)學(xué)》 雜志社， 1994 年 . [3] 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心 .MATLAB7 基礎(chǔ)與提高 .北京：電子工業(yè)出版社， 2020 年 . [4] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 .高等數(shù)學(xué) (第五版周老師不僅在學(xué)業(yè)上給我以精心指導(dǎo)，同時(shí)還在思想、生活上給我以無(wú)微不 至的關(guān)懷，在此謹(jǐn)向周老師致以誠(chéng)摯的謝意和崇高的敬意。先通過(guò)測(cè)量實(shí)際 355ml 易拉罐的各部分?jǐn)?shù)據(jù)，以該數(shù)據(jù)為參考，我們分別假設(shè)易拉罐為一個(gè)正圓柱體，通過(guò)數(shù)學(xué)極值思想算出大體數(shù)據(jù) ，再考慮實(shí)際，假設(shè)易拉罐是由一個(gè)正圓臺(tái)和一個(gè)正圓柱組成，再通過(guò)數(shù)值分析及空間幾何的知識(shí)列出優(yōu)化模型，再通過(guò)數(shù)學(xué)軟件求解進(jìn)行優(yōu)化求解，得出結(jié)論。罐蓋直徑也有所縮小。鋁罐重量已經(jīng)大為減少，上世紀(jì) 60 年代初期，每千只鋁罐（包括罐身和罐蓋）的重量達(dá) 55 鎊（約合 25千克），上世紀(jì) 70年代中期降至 44． 8 鎊（ 25千克），上世紀(jì) 90年代后期又減到33鎊（ 15 千克），現(xiàn)已減為 30鎊以下，比 40年前減少了近一半。 令 α = 2 ， b = ， V = 355ml ， 合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 15 頁(yè) 共 20 頁(yè) tan θ = ， tan β = 1 由程序計(jì)算得 R= H = r1 = r2 = Vs = R = H 為了使易拉罐整體美觀，中間胖的部分要有一定高度，且罐身直徑與其高度之比為 R R ? r1 黃金分割，罐頸部分小圓臺(tái)的高不應(yīng)太高，設(shè) = ， 1 ≤ h1 = ≤ H tan θ 由 matlab 軟件計(jì)算得 此處， R = H = r1 = r2 = Vs = 將這兩組數(shù)據(jù)比較，發(fā)現(xiàn)在確保易拉罐牢固的前提下，材料損耗量相差不大，如 果從省材料的角度考慮，則第一組數(shù)據(jù)就是最優(yōu)設(shè)計(jì)，若從美觀角度出發(fā)，則第二組數(shù) 據(jù)就稱(chēng)為最優(yōu)設(shè)計(jì)。 R = H = r1 = h1 = Vs = 由日常觀察所得， 易拉罐上方的圓臺(tái)高一般較小， 便于工藝上的處理， 故此處將 h1 限定 1 ≤ h1 ≤ ，得 R = H = r1 = R = H 合肥師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 14 頁(yè) 共 20 頁(yè) Vs = 當(dāng) 1 ≤ h1 ≤ 時(shí)， 考慮飲料罐胖的部分半徑和高的比為 黃金分割比 ， 由程序得 R = H = r1 = h1 = Vs = 由以上數(shù)據(jù) 表明易拉罐上方圓臺(tái)高度越高，材料越省，但不符合實(shí)際，故要兼顧美 觀、材料沖壓牢固，符合實(shí)際用途，材料并不一定最省，故在考慮易
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