【正文】 法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理 通過(guò)實(shí)例，總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理；能根據(jù)具體問(wèn)題的特征 ，選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 ； 2． 排列與組合 通過(guò)實(shí)例，理解排列、組合的概念；能 利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 ； 3． 二項(xiàng)式定理 能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理； 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題 。 三．要點(diǎn)精講 1． 排列、組合、二項(xiàng)式知識(shí)相互關(guān)系表 2． 兩個(gè)基本原理 （ 1）分類計(jì)數(shù)原理中的分類 ； （ 2）分步計(jì)數(shù)原理中的分步 ； 正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。 ① 求數(shù)的末位； ② 數(shù)的整除性及求系數(shù)； ③ 簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問(wèn)題 ； （ 4）近似計(jì)算。 解析：（ 1）完成一件事是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，是選用基本原理的關(guān)鍵。 C22）種投法；③四封信投入三個(gè)信箱，有兩封信在同一信箱中，有 C42故選 A。 （ 3）①學(xué)生可以選擇項(xiàng)目，而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)學(xué)生無(wú) 條件限制，所以類似（ 1）可得 N=34=81（種）； ②競(jìng)賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生，而學(xué)生無(wú)選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì)，每一項(xiàng)可以挑 4 種不同學(xué)生，共有 N=43=64（種）； ③等價(jià)于從 4 個(gè)學(xué)生中挑選 3 個(gè)學(xué)生去參加三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)賽，每人參加一項(xiàng)，故共有 C43 點(diǎn)評(píng)： 分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問(wèn)題的重要手段 ， 也是基礎(chǔ)方法 ， 在高中數(shù)學(xué)中 ， 只有這兩個(gè)原理 ， 尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處 ， 當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí) ， 用分類的方法可以有效的將之化簡(jiǎn) ,達(dá)到求解的目的 。 （ 2） 分二步：首尾必須播放公益廣告的有 A22 種；中間 4 個(gè)為不同的商業(yè)廣告有 A44種，從而應(yīng)當(dāng)填 A22 點(diǎn)評(píng)：計(jì)數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合 例 6． （ 1） (06 陜西卷 )某校從 8 名教師中選派 4 名教師同時(shí)去 4 個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教 (每地 1 人 )，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有 種 ； （ 2）（ 06全國(guó) II） 5名志愿者分到 3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方 法共有 （ ） （ A） 150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 解析：（ 1）可以分情況討論， ① 甲去，則乙不去，有 3464CA? =480 種選法； ② 甲不去，乙去，有 3464CA? =480 種選法； ③ 甲、乙都不去，有 46A =360 種選法；共有 1320 種不同的選派方案 ； （ 2） 人數(shù)分配上有 1,2,2 與 1,1,3 兩種方式，若是 1,2,2，則 有3 1 1 35 2 1322C CC AA ? ＝ 60 種，若是 1,1,3，則有1 2 2 35 4 2322CC C AA ? ＝ 90 種，所以共有 150 種，選 A。 解法一：（ 1）由題設(shè)這 10 點(diǎn)所 確定的直線是 C102=45 條。 （ 2）這些直線所交成的三角形個(gè)數(shù)可如下求：因?yàn)槊總€(gè)三角形對(duì)應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn)，這第 6 頁(yè) 共 25 頁(yè) 三個(gè)點(diǎn)來(lái)自上述 630 個(gè)點(diǎn)或原來(lái)的 10 個(gè)點(diǎn)。 （ 2）同解法一。 （ 1）若 c=0， a、 b 各有 3 種取法，排除 2 個(gè)重復(fù)（ 3x3y=0,2x2y=0,xy=0），故有 3 32=7（條）； （ 2）若 c≠ 0， a 有 3 種取法， b 有 3 種取法，而同時(shí) c 還有 4 種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有 3 3 4=36 條，從而符合要求的直線共有 7+36=43 條； 點(diǎn)評(píng)：本題是 1999 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有 。 例 10．（ 1）（ 06 江西卷）在（ x－ 2 ） 20xx 的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含 x 的奇次冪的項(xiàng)之和為 S，當(dāng) x＝ 2 時(shí)， S 等于（ ） B.－ 23008 D.－ 23009 （ 2）（ 06 山東卷）已知 2 nixx???????的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－143,其中 2i =－ 1，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是 （ ） (A)－ 45i (B) 45i (C) － 45 (D)45 （ 3）（ 06 浙江卷）若多項(xiàng)式 ?????????? 910102910102 ,)1()1()1( axaxaxaaxx 則?（ ） (A)9 (B)10 (C)－ 9 (D)－ 10 解 析 ： （ 1） 設(shè)（ x－ 2 ） 20xx＝ a0x20xx＋ a1x20xx＋ … ＋ a20xxx＋ a20xx； 則當(dāng) x＝ 2 時(shí)，有 a0（ 2 ） 20xx＋ a1（ 2 ） 20xx＋ … ＋ a20xx（ 2 ）＋ a20xx＝ 0 （ 1） ， 當(dāng) x＝－ 2 時(shí)，有 a0（ 2 ） 20xx－ a1（ 2 ） 20xx＋ … － a20xx（ 2 ）＋ a20xx＝ 23009 （ 2） ， （ 1）－（ 2）有 a1（ 2 ） 20xx＋ … ＋ a20xx（ 2 ）＝－ 23009?2＝－ 23008， ， 故選 B； （ 2）第三項(xiàng)的系數(shù)為－ 2nC ，第五項(xiàng)的系數(shù)為 4nC ，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為第 8 頁(yè) 共 25 頁(yè) －143可得 n＝ 10，則 2 1 01 1 0 ( ) ( )r r rr iT C x x?? ??＝ 40 5210() rrri C x ?? ，令 40－ 5r＝ 0，解得 r＝ 8，故所求的常數(shù)項(xiàng)為 8810()iC? ＝ 45，選 A； （ 3 ）令 2??x ，得 102109210 22 ??????? aaaaa ? ，令 0?x ，得0109210 ?????? aaaaa ? ； 點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的特殊值法，基礎(chǔ)題； 題型 6：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 例 11．證明下列不等式： （ 1）2 nn ba ?≥（2ba?） n,（ a、 b∈ {x|x 是正實(shí)數(shù) },n∈ N） 。 2n =22n－ 2n+1 點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，可以證明一些與 自然數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題。 例 12．（ 1）求 4 6n+5n+1 被 20 除后的余數(shù)； （ 2） 7n+Cn17n1+Cn2 6n+5n+1 被 4 整除的余數(shù)。 ∵ 4 5n2+? +Cnn1 7n1+Cn2 9n2+? +(－ 1)n1Cnn1 9－ 2 ∴除以 9 所得余數(shù)為 7。 9 ∴除以 9 所得余數(shù)為 0，即被 9 整除。 ++C55 第 10 頁(yè) 共 25 頁(yè) 五．思維總結(jié) 解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律 1． 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理使用方法有兩種： ① 單獨(dú)使用； ② 聯(lián)合使用。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 38） — 導(dǎo)數(shù)、定積分 一．課標(biāo)要求： 1．導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 （ 1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 ① 通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí) 變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵 ； ② 通過(guò)函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 。 （ 5）定積分與微積分基本定理 第 11 頁(yè) 共 25 頁(yè) ① 通過(guò)實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問(wèn)題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念 ； ② 通過(guò)實(shí)例（如變速運(yùn)動(dòng) 物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義 。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái) ，綜合考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，估計(jì) 20xx 年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會(huì)有大的變化： （ 1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會(huì)考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結(jié)合，屬于高考的中低檔題； （ 2） 07 年高考可能涉及導(dǎo)數(shù)綜合題，以導(dǎo)數(shù)為數(shù)學(xué)工具考察：導(dǎo)數(shù)的物理意義及幾何意義，復(fù)合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)。 第 12 頁(yè) 共 25 頁(yè) 即 f（ x0 ） =0lim??x xy??=0lim??x x xfxxf ? ??? )()( 00。 由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)的步驟（可由學(xué)生來(lái)歸納）： （ 1）求函數(shù)的增量 y? =f（ x0 + x? ） － f（ x0 ）； （ 2）求平均變化率xy??=x xfxxf ? ??? )()( 00； （ 3） 取極限，得導(dǎo)數(shù) f’(x0 )=xyx ???? 0lim。 3． 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)出公式． （１） 0)( ??C （ C 為常數(shù)） （２） 1)( ???? nn xnx （３） xx cos)(sin ?? （４） xx sin)(cos ??? 4．兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則 法則 1：兩個(gè)函數(shù)的和 (或差 )的導(dǎo)數(shù) ,等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和 (或差 )， 即： ( .) 39。39。39。39。 形如 y=f? x(? ?) 的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。f )(x 0? ，則 )(xf 為增函數(shù)；如果 39。 6．定積分 （ 1）概念 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，用分點(diǎn) a＝ x0x1? xi－ 1xi? xn＝ b 把區(qū)間 [a， b]等分成 n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間 [xi－ 1， xi]上取任一點(diǎn) ξ i（ i＝ 1， 2，? n）作和式 In＝ ?ni f1＝(ξi)△ x（其中△ x 為小區(qū)間長(zhǎng)度），把 n→∞即△ x→ 0 時(shí)，和式 In的極限叫做函數(shù) f(x)在區(qū)間[a， b]上的 定積分 ，記作： ?ba dxxf )(，即 ?ba dxxf )(＝ ????nin f1lim(ξi)△ x。 （ 3）定積分求曲邊梯形面積 由三條直線 x＝ a， x＝ b（ ab）， x 軸及一條曲線 y＝ f（ x）(f(x)≥ 0)圍成的曲邊梯的面積 ?? ba dxxfS )(。 1305 ????? tsv。 解析：2222 )( )2(44)( 4 xxx xxxxxxy ?? ??????????， 22 )(24 xxx xxxy ?? ???????， ?00 limlim ???? ??? xx xy ?????? ?? ????22 )(24 xxx xx=38x。 xxy ??? 第 16 頁(yè) 共 25 頁(yè) （ 2）先化簡(jiǎn) , 2121111 ????????? xxxxxxy ? .112 12121 232139。39。 點(diǎn)評(píng)：（ 1）